Metoda Henneberga

Metodą Henneberga (wymiany prętów) wyznaczyć siłę osiową w Pręcie “W”.

Metoda Henneberga (wymiany prętów) służy do rozwiązania rozbudowanych kratownic, których jedyną analityczną metoda rozwiązania jest ułożenie 2w równań. Ponieważ obliczenie takiego układu bez pomocy komputera zajęło by bardzo dużo czasu, wymyślono inna metodę. W skrócie polega ona na usunięciu jednego pręta, zastąpieniu go siłą X i dołożeniem go w innym miejscu (nowo powstała kratownica musi być także SW i GN). Na przykładzie powyższej kratownicy pokażę jak rozwiązywać takie przypadki. Wbrew pozorom wcale nie jest to trudne. Zakładam, że dochodząc do tego etapu metoda Rittera (przecięć) nie jest nikomu obca.

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność

W metodzie Henneberga postępujemy tak jak w przypadku “zwykłych” kratownic: liczymy liczbę węzłów, prętów oraz reakcji.

Liczba węzłów w = 13
Liczba prętów p = 23
Liczba reakcji r = 3

2 · w = p + r
2 · 13 = 23 + 3
26 = 26

Kratownica jest statycznie wyznaczalna.
Geometryczna niezmienność, ze względu na skomplikowanie udowodniłem na obrazkach. Układ jest geometrycznie niezmienny.

2. Wyznaczenie reakcji podpór

Reakcje wyznacza się tak jak w przypadku prostych kratownic.

ΣM₁ = 0
4kN · 4m + 8kN · 8m + 4kN · 12m – V13 · 16m = 0
16kNm + 64kNm + 48kNm – V13 · 16m = 0
V13 · 16m = 128kNm
V13 = 8kN

ΣY = 0
– V1 + 8kN + 4kN – V13 = 0
– V1 + 8kN + 4kN – 8kN = 0
– V1 + 4kN = 0
V1 = 4kN

ΣX = 0
– H1 + 4kN = 0
H1 = 4kN

Sprawdzenie

ΣM₇ = 0
V1 · 8m + H1 · 2m + 4kN · 2m + 4kN · 4m – V13 · 8m = 0
4kN · 8m + 4kN · 2m + 4kN · 2m + 4kN · 4m – 8kN · 8m = 0
32kNm + 8kNm + 8kNm + 16kNm – 64kNm = 0
64kNm – 64kNm = 0
0 = 0

Reakcje policzone poprawnie.

3. Siły osiowe

Ponieważ nie można znaleźć miejsca, w którym za jednym razem przecięlibyśmy tylko 3 pręty musimy zastosować metodę wymiany prętów.

Usuwamy jeden pręt (w naszym przypadku jest to pręt 4-8) i dokładamy nowy w innym miejscu (pręt 8-9). Usunięty pręt zastępujemy nieznaną siła x. Należy pamiętać by nowa kratownica była geometrycznie niezmienna.

Kratownicę będziemy musieli rozwiązać dwa razy: raz od obciążenia danego (sił P) i drugi od obciążenia x = 1. Będziemy korzystali z metody superpozycji:

N_i = N_i^P + X · N_i¹

gdzie:

N_i^P – siła osiowa w pręcie od obciążenia P
X – zależność (o tym za chwilę)
N_i¹ – siła osiowa w pręcie od obciążenia x = 1

Do wyznaczenia X posłuży nam siła osiowa w pręcie dołożonym (8-9):

Zi = Z_i^P + X · Z_i¹

gdzie:

Z_i^P – siła osiowa w dołożonym pręcie od obciążenia P
X – zależność
Z_i¹ – siła osiowa w dołożonym pręcie od obciążenia x = 1

Ponieważ siła osiowa w dołożonym pręcie musi wynosić 0 (w końcu tego pręta tam nie ma) otrzymujemy zależność:

0 = Z_i^P + X · Z_i¹
X = – Z₁^P / Z_i¹

3.1 Rozwiązanie kratownicy od obciążenia danego

Nowa kratownicę rozwiązujemy już dowolną metodą np. metoda przecięć (Rittera):

Ustalmy najpierw oznaczenia. Ponieważ rozwiązujemy kratownicę od obciążenia danego (P) przy literce N oznaczającej siłę osiową będziemy dodawali indeks górny ^P. (N^P).

Najpierw policzmy siłę osiową w pręcie 7-5.

sinγ = 2m / 2,83m
sinγ = 0,7067

cosγ = 2m / 2,83m
cosγ = 0,7067

N_7-5 = N_7-5X / cosγ
N_7-5 = N_7-5Y / sinγ

ΣM₆ = 0
N_7-5X · 4m + 4kN · 4m – 8kN · 8m = 0
N_7-5X · 4m + 16kNm – 64kNm = 0
N_7-5X · 4m = 48kNm
N_7-5X = 12kN

N_7-5 = N_7-5X / cosγ
N_7-5 = 12kN / 0,7067
N_7-5^P = 16,98kN

Obliczyliśmy właśnie siłę w pręcie W od obciążenia danego.

Siła osiowa w pręcie 6-2.

sinα = 2m / 6,32m
sinα = 0,3165

cosα = 6m / 6,32m
cosα = 0,9494

N_6-2 = N_6-2X / cosα
N_6-2 = N_6-2Y / sinα

ΣM₅ = 0
– N_6-2X · 2m + N_6-2Y · 2m + 8kN · 2m + 4kN · 6m – 8kN · 10m = 0
– N_6-2X · 2m + N_6-2Y · 2m + 16kNm + 24kNm – 80kNm = 0
– N_6-2X · 2m + N_6-2Y · 2m = 40kN
– (N_6-2 · cosα) · 2m + (N_6-2 · sinα) · 2m = 40kN
– (N_6-2 · 0,9494) · 2m + (N_6-2 · 0,3165) · 2m = 40kN
-1,8988 · N_6-2 + 0,633 · N_6-2 = 40kN
-1,2658N6-2 = 40kN
N_6-2^P = – 31,60kN

Siła osiowa w pręcie 6-5

sinβ = 2m / 2,83m
sinβ = 0,7067

cosβ = 2m / 2,83m
cosβ = 0,7067

N_6-5 = N_6-5X / cosβ
N_6-5 = N_6-5Y / sinβ

ΣM₇ = 0
– N_6-2X · 4m – N_6-5X · 4m + 4kN · 4m – 8kN · 8m = 0
30kN · 4m – N_6-5X · 4m + 16kNm – 64kNm = 0
120kNm – N_6-5X · 4m + 16kNm – 64kNm = 0
N_6-5X · 4m= 72kNm
N_6-5X = 18kN
N_6-5^P = N_6-5X / cosβ
N_6-5^P = 18kN / 0,7067
N_6-5^P = 25,47kN

Kolejny przekrój:

Siła osiowa w pręcie 11-8

ΣM₉ = 0
– N_6-2X · 2m – N_6-2Y · 2m – N_6-5X · 2m – N_6-5Y · 2m – 8kN · 2m + N_11-8 · 4m + 4kN · 2m – 8kN · 6m = 0
30kN · 2m + 10kN · 2m – 18kN · 2m – 18kN · 2m – 16kNm + N_11-8 · 4m + 8kNm – 48kNm = 0
60kNm + 20kNm – 36kNm – 36kNm – 16kNm + N_11-8 · 4m + 8kNm – 48kNm = 0
N_11-8 · 4m = 48kNm
N_11-8^P= 12kN

Siła w pręcie 9-8 (dołożonym)

sinδ = 4m / 4,47m
sinδ = 0,8949

cosδ = 2 / 4,47
cosδ = 0,4474

N_9-8 = N_9-8X / cosδ
N_9-8 = N_9-8Y / sinδ

ΣM₇ = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m – N_6-2X · 4m – N_6-5X · 4m + N_11-8 · 2m + 4kN · 4m – 8kN · 8m = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m + 30kN · 4m – 18kN · 4m + 12kN · 2m + 16kNm – 64kNm = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m + 24kNm = 0
– (N_9-8 · cosδ) · 2m + (N_9-8 · sinδ) · 2m = -24kNm
– (N_9-8 · 0,4474) · 2m + (N_9-8 · 8949) · 2m = -24kNm
0,895 · N_9-8 = -24kNm
N_9-8= -26,82kN
Z_9-8^P = -26,82kN

Obliczyliśmy właśnie siłę osiową w pręcie dołożonym od obciążenia P.

3.2 Rozwiązanie kratownicy od obciążenia x = 1

Kratownicę rozwiązujemy traktując to obciążenie jakby było normalnym obciążeniem. Polecam liczyć analogicznie do przypadku z punktu 3.1, ponieważ mamy już ułożone równania i policzone sinusy i cosinusy.

Teraz siły osiowe będziemy oznaczać z indeksem ¹ (N¹).

Siła osiowa w pręcie 7-5

sinγ = 2m / 2,83m
sinγ = 0,7067

cosγ = 2m / 2,83m
cosγ = 0,7067

N_7-5 = N_7-5X / cosγ
N_7-5 = N_7-5Y / sinγ

ΣM₆ = 0
N_7-5X · 4m + 1 · 6m = 0
N_7-5X · 4m = – 6m
N_7-5X = -1,5
N_7-5 = N_7-5X / cosγ
N_7-5 = -1,5 / 0,7067
N_7-5¹ = -2,12

Obliczyliśmy silę w pręcie W od obciążenia x = 1.

Siła osiowa w pręcie 6-2

sinα = 2m / 6,32m
sinα = 0,3165

cosα = 6m / 6,32m
cosα = 0,9494

N_6-2 = N_6-2X / cosα
N_6-2 = N_6-2Y / sinα

ΣM₅ = 0
– N_6-2X · 2m + N_6-2Y · 2m + 1 · 4m = 0
– (N_6-2 · cosα) · 2m + (N_6-2 · sinα) · 2m = – 4m
-1,2658 N_6-2 = – 4m
N_6-2¹ = 3,16

Siła osiowa w pręcie 6-5

sinβ = 2m / 2,83m
sinβ = 0,7067

cosβ = 2m / 2,83m
cosβ = 0,7067

N_6-5 = N_6-5X / cosβ
N_6-5 = N_6-5Y / sinβ

ΣM₇ = 0
– N_6-2X · 4m – N_6-5X · 4m + 1 · 2m = 0
– 3 · 4m – N_6-5X · 4m + 2m = 0
N_6-5X · 4m = – 10m
N_6-5X = – 2,5
N_6-5 = N_6-5X / cosβ
N_6-5 = – 2,5 / 0,7067
N_6-5¹ = -3,54

Przekrój B-B

Siła osiowa w pręcie 11-8

ΣM₉ = 0
– N_6-2X · 2m – N_6-2Y · 2m – N_6-5X · 2m – N_6-5Y · 2m + N_11-8 · 4m = 0
-3 · 2m – 1 · 2m + 2,5 · 2m + 2,5 · 2m + N_11-8 · 4m = 0
N_11-8 · 4m = – 2m
N_11-8¹ = – 0,5

Siła w pręcie 9-8 (dołożonym)

sinδ = 4m / 4,47m
sinδ = 0,8949

cosδ = 2 / 4,47
cosδ = 0,4474

N_9-8 = N_9-8X / cosδ
N_9-8 = N_9-8Y / sinδ

ΣM₇ = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m – N_6-2X · 4m – N_6-5X · 4m + N_11-8 · 2m  = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m – 3 · 4m + 2,5 · 4m – 0,5 · 2m = 0
– N_9-8X · 2m + N_9-8Y · 2m  = 3m
– (N_9-8 · cosδ) · 2m + (N_9-8 · sinδ) · 2m = 3m
– (N_9-8 · 0,4474) · 2m + (N_9-8 · 8949) · 2m = 3m
0,895 · N9-8 = 3m
N_9-8= 3,35
Z_9-8¹ = 3,35

Obliczyliśmy właśnie siłę osiową w pręcie dołożonym od obciążenia x = 1

3.3 Obliczenie sił osiowych

Obliczmy najpierw wartość “X”

0 = Z_i^P + X · Z_i¹
X = – Z_9-8^P / Z_9-8¹ 
X = – (-26,82kN) / 3,35
X = 8kN

Dzięki obliczeniu wartości X “połączyliśmy” ze sobą wyniki obliczeń sił osiowych dwóch przypadków obciążeń. Obliczmy teraz siłę osiowa w pręcie W (7-5)

N_i = N_i^P + X · N_i¹
N_7-5 = N_7-5^P + X · N_7-5¹
N_7-5 = 16,98kN + 8kN · (-2,12)
N_7-5 = 0

Jak widać siła osiowa w pręcie W jest równa 0. Pręt ten jest zatem prętem zerowym.

I to wszystko, wartość siły osiowej obliczona metodą Henneberga. Powodzenia z trudniejszymi przypadkami!