Belka swobodnie podparta to określenie belki prostej (z jedną tarczą) podpartej na jednym końcu podporą przegubowo-przesuwną, a na drugim podporą przegubowo-nieprzesuwną. Z racji tego w belce (podporach) nie powstaje reakcja typu moment. W belce swobodnie podpartej występują jedynie reakcje pionowe (i jedna pozioma). Belka swobodnie podparta charakteryzuje się następującymi właściwościami:
- składa się z jednej tarczy (pręta),
- jest statycznie wyznaczalna i geometrycznie niezmienna,
- występują reakcje pionowe i poziome (brak reakcji momentu),
- moment zginający na jej końcach wynosi 0.
Belka swobodnie podparta – przykład
Belka swobodnie podparta to dobry przykład na rozpoczęcie nauki rozwiązywania belek. W tym przykładzie krok po kroku pokaże Ci jak rozwiązywać takie belki (i belki w ogóle). Dowiesz się jak określać znak momentu zginającego oaz jak narysować wykres momentów.
1. Wyznaczenie statycznej wyznaczalności i geometrycznej niezmienności.
Jest to belka prosta więc mamy tylko jedną tarczę.
Liczba więzi e=3
Liczba tarcz t=1
e = 3t
3 = 3 · 1
3 = 3
Warunek spełniony – układ jest statycznie wyznaczalny.
Tarcza 1 połączona jest z fundamentem za pomocą 3 więzi niezbieżnych i nierównoległych, zatem zgodnie z twierdzeniem o 2 tarczach tworzą jedną wspólną tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.
2. Wyznaczenie reakcji podpór
Oznaczmy najpierw reakcje. Dla porządku przyjmijmy zasadę, że reakcję pionowe będziemy oznaczać literką “V”, a poziome “H”.
W naszej belce swobodnie podpartej mamy 3 reakcje: 2 pionowe (V1, V2) oraz jedną poziomą (H2). Żeby je obliczyć musimy skorzystać z warunku, że suma wszystkich momentów w dowolnym punkcie jest równa zero (ΣM=0). Jeśli chcemy uniknąć budowania układów równań, należy pamiętać o jeszcze jednej zasadzie:
Zacznijmy od punktu “1”.
ΣM1=0
4kN · 2m + 2kN/m · 4m · 6m – V2 · 8m = 0
8kNm + 8kN · 6m – V2 · 8m = 0
8kNm + 48kNm – V2 · 8m = 0
56 kNm = V2 · 8m
V2 = 7kN
Mamy policzoną reakcję V2. Teraz czas policzyć reakcję V1. Korzystamy z warunku, że suma rzutów wszystkich sił pionowych jest równa 0 (ΣY=0)
-V1 + 4kN + 8kN – V2 = 0
-V1 + 4kN + 8kN – 7kN = 0
-V1 + 5kN = 0
V1 = 5kN
Znamy już wszystkie reakcje pionowe, została nam jeszcze jedna – pozioma. Od razu widać, że będzie równa zero, ponieważ nie ma żadnych sił poziomych (ukośnych), od których mogłaby powstać.
H2 = 0
3. Siły przekrojowe
W tym przykładzie dla przejrzystości skupimy się tylko na momentach zginających. Siły tnące oraz siły osiowe znajdziecie w późniejszych, trudniejszych przykładach.
Przed przystąpieniem do obliczania momentów zginających oznaczmy włókna porównawcze (szara przerywana linia). Jeżeli belka zginając się będzie je rozciągała to moment będzie dodatni, jeśli ściskała – ujemny. Jest to bardzo ważne. W statyce momenty zawsze odkładamy po stronie włókien rozciąganych – na samym początku włókna porównawcze będą nam w tym pomagać. W tym punkcie zapominamy o zasadzie “zegara”. Moment kręcący zgodnie z ruchem wskazówek zegara niekoniecznie będzie dodatni.
Zaczynamy od lewej strony. Ponieważ wykres momentów od sił skupionych jest linią prostą nie musimy układać równań. Wystarczy policzyć go w punktach charakterystycznych, czyli w punktach, w których “coś się dzieje” jak np. miejsce przyłożenia innej siły, podpora, początek nowej belki… itd.
Punkt “1”
Moment na początku belki swobodnie podpartej jest równy zero.
M1 = 0
Punkt “A”
W powiększeniu sytuacja wygląda tak:
Jedyna siła od której powstanie moment w punkcie A to nasza reakcja 5kN. Siła o wartości 4kN przechodzi przez nasz punkt, więc nie powstanie od niej żaden moment. Zobaczmy jak siła będzie oddziaływała na belkę i włókna porównawcze:
Jak widać na powyższym rysunku, siła będzie nam rozciągała włókna porównawcze, zatem będzie dawała moment dodatni.
MA = 5kN · 2m
MA = 10kNm
Punkt “B”
Moment w punkcie B powstanie od naszej reakcji 5kN oraz od siły 4kN. Ustaliliśmy już wcześniej, że moment od reakcji 5kN będzie dodatni. Teraz czas ustalić znak dla momentu od siły 4kN.
Na powyższym wycinku widzimy wyodrębnioną siłę 4 kN skierowaną pionowo w dół. Oddziałuje na belkę i włókna porównawcze tak:
Siła będzie nam ściskać włókna porównawcze, zatem moment będzie ujemny. Znając znaki poszczególnych momentów czas określić ich wartości. Reakcja 5kN znajduje się w odległości 4m od punktu B, natomiast siła 4kN tylko 2m. Ułóżmy równanie w punkcie “B”.
MB = 5kN · 4m – 4kN · 2m
MB = 20kNm – 8kNm
MB = 12kNm
W punkcie B zaczyna nam się obciążenie równomiernie rozłożone o wartości 2kN/m. Ponieważ nie ma znaczenia, z której strony liczymy (moment powinien wyjść zawsze taki sam) dla łatwości obliczeń policzymy to idąc z prawej strony, czyli od punktu 2 w lewo.
Punkt “2”
Moment na końcu belki swobodnie podpartej jest równy zero.
M2 = 0
Punkt “C”
Musimy ułożyć równanie, które pozwoli nam obliczyć moment pod obciążeniem rozłożonym. Sytuacja z bliska wygląda następująco:
Belka zgina się w sposób następujący:
|
|
 |
Czas napisać równanie.
M(x) = 7 · x – 2 · x · 0,5 · x
M(x) = 7x – x2
Mamy równanie momentów w przedziale (B,2). Sprawdźmy czy dobrze je zapisaliśmy
Moment w punkcie “B”
M(x) = 7x – x2
M(4) = 7 · 4 – 42
M(4) = 28 – 16
M(4) = 12kNm
Wróćmy teraz do miejsca w którym policzyliśmy moment w puncie B z lewej strony. Wyniki się zgadzają, równanie zapisaliśmy poprawnie. Zgodnie z teorią, wykres jest krzywą drugiego stopnia, żeby go narysować musimy wiedzieć w którym miejscu ma ekstremum. Obliczamy pochodną z momentu.
M'(x) = 7 – 2x
0 = 7 – 2x
2x = 7
x = 3,5
Zatem ekstremum momentu będzie się znajdywało w x = 3,5m od punktu 2. Teraz trzeba obliczyć jego wartość.
M(x) = 7x – x2
M(3,5) = 7 · 3,5 – (3,5)2
M(3,5) = 24,5 – 12,25
M(3,5) = 12,25kNm
Wartość maksymalna naszej funkcji wynosi 12,25kNm w punkcie x = 3,5. Mając powyższe dane możemy przejść do rysowania wykresów momentów.
4. Wykresy sił przekrojowych
Wykresy momentów rysujemy zawsze po stronie włókien rozciąganych! W naszym przypadku zgodnie z tym co przyjęliśmy wcześniej momentem dodatnim jest ten, który rozciąga włókna porównawcze. Ostatecznie wykres wraz z belka wygląda następująco:
Na żółto zaznaczony odcinek paraboli (wykresy od obciążenia rozłożonego). Na niebiesko zaznaczona wartość maksymalna momentu.
Jak widzisz obliczanie belek to nic trudnego – wystarczy znać podstawy i rozumieć co z czego wynika. Zachęcam Cię do dalszej nauki i przerabiania kolejnych przykładów, gdyż to najlepsza droga do zaliczenia! Zobacz też inne przykłady rozwiązywania belek.