Belka złożona

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność

Liczba więzi e = 9 (przegub pomiędzy dwiema tarczami odbiera dwa stopnie swobody)
Liczba tarcz t = 3

e = 3t
9 = 3 · 3
9 = 9

Warunek spełniony, układ jest statycznie wyznaczalny.

W tym przykładzie nie będziemy jednak sprawdzać geometrycznej niezmienności. Jest to układ geometrycznie chwilowo zmienny (z racji połączenia tarczy 1). Jest to jednak dobry przykład do poćwiczenia więc przejdziemy od razu do obliczenia reakcji podpór.

2. Wyznaczenie reakcji podpór

Przy obliczaniu reakcji korzystamy z faktu, że moment w przegubie zawsze jest równy zero. Z tego wynika, że suma momentów po dowolnej stronie przegubu też jest równa zero. Policzmy reakcję V7.

ΣM5^P = 0
-4kNm – V7 · 4m = 0
V7 · 4m = – 4kNm
V7 = -1kN

By policzyć reakcje V3 i V4 musimy ułożyć układ równań. Skorzystamy z warunków:

1) ΣY = 0

2kN/m · 6m – V3 – V4 + 5kN – V7 = 0
12kN – V3 – V4 + 5kN – (-1kN) = 0
V3 + V4 = 18kN

2) ΣM2P = 0

2kN/m · 2m · 1m – V3 · 2m – V4 · 4m + 5kN · 6m – 4kNm – V7 · 10m = 0
4kNm – V3 · 2m – V4 · 4m + 5kN · 6m – 4kNm + 1kN · 10m = 0
–V3 · 2m – V4 · 4m + 40kNm = 0
V3 · 2m + V4 · 4m = 40kNm

Mamy teraz taki oto układ równań:

V3 + V4 = 18
V3 · 2 + V4 · 4 = 40

Możemy go rozwiązać ręcznie lub skorzystać z jednego z dostępnych programów online do rozwiązywania układów równań. Po rozwiązaniu otrzymujemy następujące wyniki:

V3 = 16kN
V4 = 2kN

Wszystkie reakcje pionowe mamy już policzone. Policzmy teraz moment w łyżwie.

ΣM2^L = 0
M1 – 2kN/m · 4m · 2m = 0
M1 – 16kNm = 0
M1 = 16kNm

Reakcja pozioma H1 będzie równa zero.

H1 = 0

Sprawdzenie: Gdy układ jest rozbudowany, a obliczeń było sporo warto sprawdzić czy reakcje policzyliśmy poprawnie. Obliczamy moment w dowolnym punkcie belki. Moment powinien wyjść zero.

ΣM6 = 0
M1 – 2kN/m · 6m · 9m + V3 · 6m + V4 · 4m – 5kN · 2m – 4kNm – V7 · 2m = 0
M1 – 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m – 5kN · 2m – 4kNm + 1kN · 2m = 0
16kNm – 108kNm + 96kNm + 8kNm – 10kNm – 4kNm + 2kNm = 0
0 = 0

Reakcje policzone poprawnie

3. Siły przekrojowe

Po naniesieniu reakcji i oznaczeniu włókien porównawczych belka wygląda tak:

3.1 Momenty zginające

Punkt “1”

Mamy łyżwę, więc moment na podporze nie będzie zerowy.

M₁ = 16kNm

Przedział “1-3”

Ze względu na obciążenie rozłożone musimy ułożyć równanie.

M(x) = 16kNm – 2kN/m · xm · 0,5  · xm
M(x) = 16 – x²

Równanie gotowe, czas określić ekstremum

M(x) = 16 – x²
M'(x) = -2x
0 = -2x
x = 0

A więc ekstremum momentu jest w miejscu gdzie x = 0m czyli na łyżwie

M(x) = 16 – x²
M(0) = 16kNm
M₁ = 16kNm

Wszystko się zgadza. Sprawdźmy teraz czy w przegubie wyjdzie nam moment zerowy (x = 4m)

M(x) = 16 – x²
M(4) = 16 – 4²
M(4) = 0
M₂ = 0

Policzmy jeszcze moment na końcu przedziału, czyli w punkcie 3.

M(x) = 16 – x²
M(6) = 16 – 6²
M(6) = – 20kNm
M₃ = -20kNm

Punkt “4”

Nie musimy układać równania. Obciążenie rozłożone traktujemy już jako całość.

M₄ = 16kNm – 2kN/m · 6m · 5m + 16kN · 2m
M₄ = 16kNm – 60kNm + 32kNm
M₄ = -12kNm

Punkt “5”

Ponieważ jest to przegub moment będzie równy zero

M₅ = 0

Punkt “6”

Rozpatrzymy dwa przypadki. Najpierw obliczamy moment z lewej strony punktu nie uwzględniając momentu zadanego 4kNm. W drugim przypadku uwzględnimy ten moment.

M₆^L = 16kNm – 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m – 5kN · 2m
M₆^L = 16kNm – 108kNm + 96kNm + 8kNm – 10kNm
M₆^L = 2kNm

M₆^P = 16kNm – 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m – 5kN · 2m – 4kNm
M₆^P = 16kNm – 56kNm + 96kNm + 8kNm – 10kNm – 4kNm
M₆^P= -2kNm

Punkt “7”

Moment w tym punkcie wynosi zero. Jest to koniec naszej belki.

M₇ = 0

3.2 Siły tnące

Przedział “1-3”

Siły tnące to pierwsza pochodna momentu. Równanie momentu już mamy, ułożyliśmy je wcześniej.

M(x) = 16 – x²
M'(x) = -2x
T(x) = -2x

Policzmy siłę tnącą na końcach przedziałów.

T(x) = -2x
T(0) = 0

T(x) = -2x
T(6) = -12kN

Przedział 3-4

Dochodzi nam siła pionowa z reakcji.

T_3-4 = -12kN + 16kN
T_3-4 = 4kN

Przedział 4-5

Uwzględniamy kolejną reakcję.

T_4-5 = 4kN + 2kN
T_4-5 = 6kN

Przedział “5-7”

Dochodzi nam siła pionowa 5kN.

T_5-6 = 6kN – 5kN
T_5-6 = 1kN

Punkt “7”

Na końcu naszej belki, w punkcie 7, działa reakcja skierowana pionowo w dół o wartości 1kN. Jak widać zniosą się, czyli możemy przypuszczać, że siły tnące policzyliśmy poprawnie.

T = 1kN – 1kN
T = 0

3.3 Siły osiowe.

Siły osiowych brak w naszym układzie, nie ma żadnych reakcji poziomych.

4. Wykresy sił przekrojowych