1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność.
Liczba więzi e = 6 (przegub odbiera 2 stopnie swobody)
Liczba tarcz e = 2
e = 3t
6 = 3 · 2
6 = 6
Układ jest statycznie wyznaczalny.
Tarcza 1 jest połączona z tarczą 0 i 2 za pomocą 2 więzi,
Tarcza 2 jest połączona z tarczą 0 i 1 za pomocą 2 więzi,
Tarcza 0 jest połączona z tarczą 1 i 2 za pomocą 2 więzi,
a środki ich wzajemnego obrotu nie leżą na jednej prostej. Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach tworzą jedną wspólna tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.
2. Wyznaczenie reakcji podpór
Chcąc policzyć reakcje w tym układzie musimy pamiętać o tym, że moment w przegubie jest zawsze równy zero. Co nam to da? Otóż suma momentów zarówno z lewej jak i prawej strony przegubu musi być równa zero. Jeśli nie skorzystalibyśmy z tego faktu musielibyśmy rozwiązywać układ równań, co znacznie wydłużyłoby czas liczenia. Zacznijmy liczyć reakcje od punktu B.
ΣMBD = 0
-6kN · 2m – H1 · 4m = 0
-12kNm – H1 · 4m = 0
H1 · 4m = -12kNm
H1 = -3kN
Mając policzoną ta reakcję, z łatwością możemy obliczyć pozostałe.
ΣX = 0
-3kN + 6kN – H2 = 0
3 kN – H2 = 0
H2 = 3kN
ΣMBP = 0
3kN/m · 4m · 2m – V2 · 6m + H2 · 2m = 0
24kNm – V2 · 6m + 3kN · 2m = 0
24kNm – V2 · 6m + 6kNm = 0
V2 · 6m = 30kNm
V2 = 5kN
ΣY = 0
– V1 + 3kN/m · 4m – 5kN = 0
V1 = 7 kN
Sprawdzenie:
ΣMC = 0
V1 · 4m – H1 · 4m – 6kN · 2m – 3kN/m · 4m · 2m + H2 · 2m – V2 · 2m = 0
7kN · 4m – (-3kN) · 4m – 6kN · 2m – 3kN/m · 4m · 2m + 3kN · 2m – 5kN · 2m = 0
28kNm + 12kNm – 12kNm – 24kNm + 6kNm – 10kNm = 0
0 = 0
Reakcje policzone poprawnie.
3. Siły przekrojowe
3.1 Momenty zginające
Każdy pręt staramy sobie wyobrazić jako belkę prostą, momenty liczy się według znanej wam już zasady. Momenty znakujemy tak samo jak w belkach. Jeśli łatwiej będzie Ci na początku spróbuj obrócić kartkę, by pręt przypominał Ci belkę.
Punkt “1”
M1 = 0
Punkt “A”
MA = 3kN · 2m
MA = 6kNm
Punkt “B”
Ponieważ tu znajduje się przegub, moment powinien nam wyjść zero. Sprawdźmy:
MB = 3kN · 4m – 6kN · 2m
MB = 12kNm – 12kNm
MB = 0
Przedział (B,C)
Na tym przedziale działa obciążenie rozłożone, więc musimy ułożyć odpowiednie równanie. Ale jak je ułożyć? Które siły wziąć? Przecież tu się nam łamie nasza rama! Nic trudnego. Jedyna siła z lewej strony, która może mieć wpływ to reakcja pionowa. Pozostałe dwie poziome nie dadzą żadnego momentu (zniosą się wzajemnie). Przyjrzyjmy się z bliska tej sytuacji:
Zauważcie, że siła która będzie dawała moment na odcinku B-C (będzie również siłą tnącą) jest siłą osiową na odcinku 1-B. Mając już tą wiedzę, ułóżmy równanie.
M(x) = 7kN · x – 3kN/m · x · 0,5 · x
M(x) = 7x – 1,5x2
Równanie gotowe, określmy teraz ekstremum momentu na tym przedziale.
M'(x) = 7 – 3x
7 – 3x = 0
3x = 7
x = 2,33m
Wartość ekstremalna momentu znajduje się w x = 2,33m
M(x) = 7x – 1,5x2
M(2,33) = 7 · 2,33 – 1,5 · (2,33)2
M(2,33) = 16,31 – 8,14
M(2,33) = 8,17kNm
Teraz policzmy wartość na końcu przedziału, czyli w punkcie “C” (x=4m)
M(x) = 7x – 1,5x2
M(4) = 7 · 4 – 1,5 · 42
M(4) = 28 – 24
M(4) = 4kNm
MC = 4kNm
Punkt “D”
Łatwiej będzie jeśli policzymy go idąc od strony prawej, mamy tam tylko jedną siłę.
MD = 5kN · 2m
MD = 10kNm
Punkt “2”
M2 = 0
3.2 Siły tnące
Zasady obliczania sił tnących są takie same jak dla belek.
Przedział “1-A”
Jeśli tak obrócimy nasz pręt by przypominał belkę, będzie Wam na początku łatwiej obliczyć tnące. Pamiętajcie o znakowaniu!
T1-A = 3kN
Przedział “A-B”
TA-B = 3kN – 6kN
TA-B = – 3kN
Przedział “B-C”
Nie musimy układać nowego równania. Wystarczy pamiętać, że siła tnąca to pierwsza pochodna momentu. Ponieważ będzie to prosta, musimy znać jej wartość na początku i na końcu przedziału.
Początek przedziału:
T(x) = 7 – 3x
T(0) = 7kN
Zauważcie, że siła 7kN to nasza reakcja.
Koniec przedziału:
T(x) = 7 – 3x
T(4) = 7 – 3 · 4
T(4) = 7 – 12
T(4) = – 5kN
Przedział “C-D”
Spójrzmy na całą ramę jeszcze raz:
Siłą tnącą będzie siła -3kN + 6kN= 3kN (z lewej), oraz 3kN = 3kN (z prawej). Jak widać nie ma znaczenia z której strony będziemy iść, zawsze powinniśmy otrzymać tą sama wartość. Zatem
TC-D = 3kN
Przedział “D-2”
Patrząc jeszcze raz na cała ramę widzimy, że siła tnąca tym odcinku będzie wynosić -5 kN. Idąc z lewej:
TD-2 = 7kN – 12kN
TD-2 = -5kN
Idąc z prawej mamy tylko naszą reakcję. Pamiętając o znakowaniu
TD-2 = -5kN
3.3 Siły osiowe
Zasada obliczania taka jak dla belek.
Przedział “1-A”
Jedyna siłą osiową jest tu nasza reakcja 7kN. Jak wynika z rysunku będzie ściskać nasz pręt.
N1-A = -7kN
Przedział “A-B”
Nie dochodzi nam żadna inna siła pozioma, działa dalej tylko nasza reakcja.
NA-B = -7kN
Przedział “B-C”
Na tym przedziale siła osiowa będzie się równać co do wartości sile tnącej z odcinka poprzedniego. Jeśli chcecie to mimo wszystko jeszcze raz policzyć, spójrzcie na rysunek ramy. Dodajcie do siebie siły i powinniście otrzymać wartość 3kN. (3kN – 6kN = -3kN) Ponieważ otrzymana siła ściska nam pręt będzie siłą ujemną.
NB-C = -3kN
Przedział “C-D”
Policzmy ja od prawej strony. Jedyna pionowa siłą z prawej strony jest reakcja 5kN w punkcie 2. Przenieśmy ja do punktu D. Widzimy, że będzie nam ona ściskać pręt. Będzie zatem ujemna.
NC-D = -5kN
Przedział “D-2”
Tu każdy beż żadnych problemów powinien już sam, bez pomocy wyznaczyć siłę osiową.
ND-2 = -3kN
Świetnie! Teraz wykresy.
4. Wykresy sił przekrojowych
Tu inaczej niż w belkach, będziemy wykresy przedstawiań nie pod spodem belki, a bezpośrednio na ramie.
