1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność
Liczba więzi e = 9
Liczba tarcz t = 3
e = 3t
9 = 3 · 3
9 = 9
Układ jest statycznie wyznaczalny.
Tarcza 1 jest połączona z tarczą 3 i 2 za pomocą 2 więzi,
Tarcza 2 jest połączona z tarczą 1 i 3 za pomocą 2 więzi,
Tarcza 3 jest połączona z tarczą 1 i 2 za pomocą 2 więzi,
a środki ich wzajemnego obrotu nie leżą na jednej prostej.Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach tworzą jedną wspólna tarczę. Nowo powstała tarcza, jest połączona z fundamentem (tarcza 0) za pomocą 3 więzi, zatem na podstawie o dwóch tarczach tworzą jedną wspólną tarczę. Cały układ jest geometrycznie niezmienny.
2. Wyznaczenie reakcji podpór
Reakcja V2
ΣM1 = 0
6kNm – 4kN · 2m + 2kN/m · 2m · 3m – V2 · 4m = 0
6kNm – 8kNm + 12kNm – V2 · 4m = 0
10kNm – V2 · 4m = 0
V2 = 2,5kN
Reakcja V1
ΣY = 0
– V1 + 4kN + 2kN/m · 2m – V2 = 0
– V1 + 4kN + 4kN – 2,5kN = 0
V1 = 5,5 kN
Reakcja H1
ΣX = 0
H1 = 0
Sprawdzenie
ΣME = 0
– 4kN · 4m + 6kNm + V1 · 2m + H1 · 4m + 2kN/m · 2m · 1m – V2 · 2m = 0
– 4kN · 4m + 6kNm + 5,5kN · 2m + 0 · 4m + 2kN/m · 2m · 1m – 2,5 · 2m = 0
-16kNm + 6kNm + 11kNm + 4kNm – 5kNm = 0
0 = 0
Reakcje policzone poprawnie
3. Siły przekrojowe
By wyznaczyć siły przekrojowe musimy najpierw “otworzyć” komorę. Otwarcie komory to nic innego jak po prostu jej przecięcie. W miejscu przecięcia pojawiają nam się dodatkowe siły (siły przekrojowe), które należy oznaczyć i policzyć. Najlepiej komorę otwierać w miejscu, w którym tych sił bedzie najmniej np. jeśli otworzymy ramę w przegubie, automatycznie odpada nam moment, a jeśli w łyżwie siła tnąca. W naszym przypadku będziemy otwierali w “ściągu”. “Ściąg” to prosty pręt nieobciążony żadną siłą, połączony przegubowo z dwiema innymi tarczami, taki wycinek kratownicy, w którym występują tylko siły osiowe. Momenty zginające i siły tnące wynoszą zero. Zobaczmy:
Na pomarańczowo zaznaczone zostały siły, powstałe w wyniku przecięcia naszej ramy. Będą to jednocześnie siły osiowe tego pręta. Musimy je wyznaczyć by przejść do obliczenia innych sił przekrojowych w tym układzie.
ΣMCD = 0
6kNm – 2m · N = 0
2m · N = 6kNm
N = 3kN
Mając obliczoną już tą siłę możemy przejść do obliczania sił przekrojowych. Będziemy ją traktować jak zwykłą zadaną nam silę skupioną.
3.1 Momenty
Punkt “1”
M1 = 0
Punkt “A”
Działa nam tylko moment skupiony
M2 = 6kNm
Punkt “B”
Moment z prawej strony. Ponieważ jest to przegub, moment będzie się równać zero.
MBP = 0
Moment z dołu/góry będzie się równał momentowi z punktu A, ponieważ żadna inna siła nie wpływa na niego.
MBD = 6kNm
Punkt “C”
Moment z dołu. Dochodzi nam siła powstała w wyniku przecięcia. Moment od niej będzie ujemny, ponieważ będzie nam ściskał włókna porównawcze. Znajduje się tu przegub więc moment powinien wyjść zero. Sprawdźmy:
MCD = 6kNm – 3kN · 2m
MCD = 6kNm – 6kNm
MCD = 0
Moment z lewej strony
MCL = 4kN · 2m
MCL = 8kNm
Moment z prawej strony będzie się równał momentowi ze strony lewej.
MCP = 8kNm
Punkt “E”
By policzyć moment musimy “zebrać” wszystkie siły i momenty, które działają z jednej strony punktu. W naszym przypadku będziemy szli ze strony lewej. Popatrzmy jeszcze raz na ramę:
Siły niebezpośrednio przyłożone do belki bierzemy ze znakami jakie miały przy wcześniejszym liczeniu momentu.
MEL = – 4kN · 4m + 5,5kN · 2m + 6kNm – 3kN · 2m
MEL= – 16kNm + 11kNm + 6kNm – 6kNm
MEL = – 5kNm
Równanie
M(x) = 2,5 · x – 2 · x · 0,5x – 3 · 2
M(x) = 2,5x – x2 – 6
M(x) = – x2 +2,5x – 6
Ekstremum:
M(x) = – x2 +2,5x – 6
M'(x) = – 2x + 2,5
0 = – 2x +2,5
2x = 2,5
x = 1,25m
A więc ekstremum momentu na tym przedziale jest w x=1,25m
M(x) = – x2 +2,5x – 6
M(1,25) = -1,252 + 2,5 · 1,25 – 6
M(1,25) = -1,5625 + 3,125 – 6
M(1,25) = -4,44kNm
A więc moment maksymalny na tym przedziale wynosi -4,44kNm gdy x = 1,25m
Dla sprawdzenia policzmy moment w punkcie E wykorzystując nasze równanie:
M(x) = – x2 +2,5x – 6
M(4) = -22 + 2,5 · 2 – 6
M(4) = 4 + 5 – 6
M(4) = -5kNm
MEP = -5kNm
Zgadza się MEL = -5kNm
Został nam jeszcze moment w punkcie F, czyli tam gdzie x = 0
M(x) = – x2 +2,5x – 6
M(0) = -6kNm
MF = -6kNm
Punkt “G”
Moment w tym punkcie równa się zero (nie tylko w przegubie). Zauważcie, że idąc od dołu nie ma od jakiej siły nam on powstać. Jeśli chcecie się sprawdzić policzcie od góry – moment również powinien wyjść wam zero.
MG = 0
Punkt “2”
M2 = 0
3.2 Siły tnące
Przedział “1-A”
Brak sił od których mogła by powstać siła tnąca.
T1-A = 0
Przedział “A-B”
Tu również nie ma od czego powstać.
TA-B = 0
Przedział “B-C”
Siła tnącą będzie siła powstała w wyniku przecięcia.
TB-C = – 3kN
Przedział “D-C”
Działa nam tylko siła 4kN.
TD-C = – 4kN
Przedział “C-E”
Tu nie możemy zapomnieć o reakcji 5,5kN która będzie wpływała na siłę tnącą.
TC-E = – 4kN + 5,5kN
TC-E = 1,5 kN
Przedział “E-F”
Możemy siłę tnącą policzyć dwoma sposobami.
1) Pochodna momentu to siła tnąca. Ale nie zapomnijmy, że równanie ułożyliśmy od strony prawej (zmiana znakowania dla sił tnących). Musimy zmienić znak równania
M'(x) = – 2x + 2,5
T(x) = 2x – 2,5
T(2) = 4 – 2,5
T(2) = 1,5
TE = 1,5kN
T(x) = 2x – 2,5
T(0) = – 2,5kN
TF = – 2,5kN
2) Układamy nowe równanie (z lewej strony)
T(x) = -4 + 5,5 – 2 x
T(x) = 1,5 – 2x
T(0) = 1,5
TE = 1,5kN
T(2) = 1,5 – 2 · 2
T(2) = 1,5 – 4
T(2) = – 2,5
TF = – 2,5kN
Przedział “G-F”
Idziemy od dołu. Siła tnąca powstaje od siły 3kN
TG-F = 3kN
Przedział “G-2”
Nie działa żadna siła, od której siła tnąca mogłaby powstać.
TF-2 = 0
3.3 Siły osiowe
Przedział “1-A”
Siła osiowa powstaje od naszej reakcji
N1-A = – 5,5kN
Przedział “A-B”
Działa tylko nasza reakcja
NA-B = – 5,5kN
Przedział “B-C”
Dalej działa tylko nasza reakcja
NB-C = – 5,5kN
Przedział “D-C”
Nie działa żadna siła pozioma.
ND-C = 0
Przedział “C-E”
Siła osiowa na tym przedziale powstaje od siły 3kN, siły w ściągu.
NC-E = – 3kN
Przedział “E-F”
Nic się nie zmienia
NF = – 3kN
Przedział “2-G”
Siła osiowa powstaje od reakcji 2,5kN
NG-2 = -2,5kN
Przedział “G-F”
Idziemy od dołu. Siła osiowa powstaje od reakcji 2,5kN
NG-F = -2,5kN
4. Wykresy sił przekrojowych
