rama z pretem ukosnym

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność

rama z pretem ukosnym tarcza

Liczba więzi e =3
Liczba tarcz t = 1

e = 3t
3 = 3 · 1
3=3

Warunek spełniony układ jest statycznie wyznaczalny.

Tarcza 1 jest połączona z fundamentem za pomocą trzech więzi niezbieżnych i nierównoległych. Zatem na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach tworzą jedna wspólna tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.

2. Wyznaczenie reakcji podpór

rama z pretem ukosnym reakcje

Do wyznaczenia reakcji nie ma potrzeby rozkładania obciążenia i rzutowania go na pręt. Traktujemy je normalnie tak jakby było przyłożone normalnie do pręta.

ΣM4 = 0
V1 · 6m – 3kN/m · 4m · 4m – 4kN · 1,5m = 0
V1 · 6m – 48kNm – 6kNm = 0
V1 · 6m – 54 = 0
V1 · 6m = 54
V1 = 9kN

ΣY = 0
-V1 + 3kN/m · 4mV4 = 0
– 9kN + 12kN – V4 = 0
V4 = 3kN

ΣX = 0
H4  – 4kN= 0
H4 = 4kN

Sprawdzanie:

ΣM2 = 0
V1 · 4m – 3kN/m · 4m · 2m + 4kN · 1,5m – H4 · 3m – V4 · 2m = 0
9kN · 4m – 24kNm + 6kNm – 4kN · 3m – 3kN · 2m = 0
36kNm – 24kNm + 6kNm – 12kNm – 3kNm = 0
0 = 0

Reakcje policzone poprawnie

3. Siły przekrojowe

rama z pretem ukosnym reakcje policzone

3.1 Momenty zginające

Przedział “1-2”

Do obliczenia momentów zginających rozkładanie czy rzutowanie obciążenia również nie jest konieczne. Równanie momentu będziemy układać idąc od lewej strony (zgodnie ze strzałką x) w płaszczyźnie poziomej.

M(x) = 9kN · x – 3kN/m · x  · 0,5 · x
M(x) = 9x – 1,5x2

Ekstremum:

M(x) = 9x – 1,5x2
M'(x) = 9 – 3x
0 = 9 – 3x
x = 3m

M(x) = 9x – 1,5x2
M(3) = 9 · 3 – 1,5 · 32
M(3) = 27 – 13,5
M(3) = 13,5kNm

Punkt “1”

M(x) = 9x – 1,5x2
M(0) = 0
M1 = 0

Punkt “2”

M(x) = 9x – 1,5x2
M(4) = 9 · 4m – 1,5 · 42
M(4) = 36 – 24
M(4) = 12kNm
M2 = 12kNm

Punkt “3”

Musimy zebrać obciążenie z jednej strony punktu. Ponieważ mniej sił jest z prawej strony będziemy liczyć z prawej – im mniej obliczeń tym mniejsza szansa na pomyłkę.

M3 = – 4kN · 1,5m + 4kN · 3m
M3 = 6kNm

Punkt “A”

Idąc od dołu

MA = 4kN · 1,5m
MA = 6kN

Punkt “4”

M4 = 0

3.2 Siły tnące

Żeby wyznaczyć siły tnące musimy zamienić obciążenie w płaszczyźnie Y na obciążenie działające prostopadle do pręta. Najpierw musimy zrzutować nasze obciążenie na pręt

rzutowanie obciazenia rozlozonego

Nowe obciążenie q’ na długości x’ musi być równe staremu obciążeniu q na długości x. Otrzymujemy zależność:

q’ · x’ = q · x

Wyznaczmy teraz długość x’

rzutowanie obciazenia rozlozonego

Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej cos α

cos α = x / x’
x’ = x / cos α

Po podstawieniu do naszej zależności wartość q’ wynosi:

q’ = q · cos α

a nasze obciążenie wygląda teraz tak:

obciazenie zrzutowane

Teraz rozłożymy to obciążenie na składową T (prostopadłą do pręta) i N (równoległą do pręta.)

rozlozenie obciazenia preta ukosnego

Kolejny raz korzystamy z funkcji trygonometrycznych

cos α = T / qcos α
T = q cos2 α

sin α = N / qcosα
N = q · cos α · sin α

Mamy już wartość obciążenia q na płaszczyźnie T i N (nie zapominajmy, że to obciążenie rozłożone w jednostkach kN/m). Teraz musimy jeszcze tylko rozłożyć reakcję V1 na składowe prostopadłe i równoległe do pręta.

rozlozenie reakcji

Siła tnąca A = 9 cos α

Siła osiowa B = 9 sin α

nowe obciazenie rozlozone

Mając już elegancko rozłożone obciążenie możemy przystąpić do wyznaczenia sił tnących.

Przedział “1-2”

Nasze równanie będzie wyglądać następująco:

T1-2 = A T · x
T1-2 = 9kN · cos α – q cos2 α · x
T1-2 = 9 · 4/5 – 3 ·(4/5)2 · x
T1-2 = 9 · 0,8 – 3 · (0,8)2 · x
T1-2 = 7,2 – 1,92x

Punkt “1”

T(x) = 7,2 – 1,92x
T(0) = 7,2kN
T1 = 7,2kN

Punkt “2”

T(x) = 7,2 – 1,92x
T(5) = 7,2 – 1,92 · 5
T2 = – 2,4kN

Przedział “2-3”

Siły tnące na tym przedziale i dalszych rozpatrujemy juz wg starej zasady.

T2-3 = 9kN3kN/m · 4m
T2-3 = 9kN – 12kN
T2-3 = -3kN

Przedział “4-A”

T4-A = -4kN

Przedział “A-3”

TA-3 = -4kN + 4kN
TA-3 = 0

3.3 Siły osiowe

Przedział “1-2”

Obciążenie przy okazji sił tnących już przerobiliśmy na nasze potrzeby. Teraz wystarczy tylko ułożyć równanie.

N1-2 = – B + N · x
N1-2 = – 9kN · sin α + q cosα sinα · x
N1-2 = – 9 · 3/5 + 3 ·0,8 · 0,6 · x
N1-2 = – 5,4 + 1,44 · x
N1-2 = 1,44x  – 5,4

Punkt “1”

N1-2 = 1,44x  – 5,4
N(0) = – 5,4kN
N1 = -5,4kN

Punkt “2”

N1-2 = 1,44x  – 5,4
N(5) = 1,44 · 5 – 5,4
N(5) = 1,8kN
N2 = 1,8kN

Przedział “4-A”

N4-A = -3kN

Przedział “A-3”

NA-3 = -3kN

Przedział “3-2”

N3-2 = 4kN4kN
N3-2 = 0

4. Wykresy sił przekrojowych

rama z pretem ukosnym wykres momentow

rama z pretem ukosnym wykres sil tnacych

rama z pretem ukosnym wykres sil osiowych