1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność
Liczba więzi e =3
Liczba tarcz t = 1
e = 3t
3 = 3 · 1
3=3
Warunek spełniony układ jest statycznie wyznaczalny.
Tarcza 1 jest połączona z fundamentem za pomocą trzech więzi niezbieżnych i nierównoległych. Zatem na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach tworzą jedna wspólna tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.
2. Wyznaczenie reakcji podpór
Do wyznaczenia reakcji nie ma potrzeby rozkładania obciążenia i rzutowania go na pręt. Traktujemy je normalnie tak jakby było przyłożone normalnie do pręta.
ΣM4 = 0
V1 · 6m – 3kN/m · 4m · 4m – 4kN · 1,5m = 0
V1 · 6m – 48kNm – 6kNm = 0
V1 · 6m – 54 = 0
V1 · 6m = 54
V1 = 9kN
ΣY = 0
-V1 + 3kN/m · 4m – V4 = 0
– 9kN + 12kN – V4 = 0
V4 = 3kN
ΣX = 0
H4 – 4kN= 0
H4 = 4kN
Sprawdzanie:
ΣM2 = 0
V1 · 4m – 3kN/m · 4m · 2m + 4kN · 1,5m – H4 · 3m – V4 · 2m = 0
9kN · 4m – 24kNm + 6kNm – 4kN · 3m – 3kN · 2m = 0
36kNm – 24kNm + 6kNm – 12kNm – 3kNm = 0
0 = 0
Reakcje policzone poprawnie
3. Siły przekrojowe
3.1 Momenty zginające
Przedział “1-2”
Do obliczenia momentów zginających rozkładanie czy rzutowanie obciążenia również nie jest konieczne. Równanie momentu będziemy układać idąc od lewej strony (zgodnie ze strzałką x) w płaszczyźnie poziomej.
M(x) = 9kN · x – 3kN/m · x · 0,5 · x
M(x) = 9x – 1,5x2
Ekstremum:
M(x) = 9x – 1,5x2
M'(x) = 9 – 3x
0 = 9 – 3x
x = 3m
M(x) = 9x – 1,5x2
M(3) = 9 · 3 – 1,5 · 32
M(3) = 27 – 13,5
M(3) = 13,5kNm
Punkt “1”
M(x) = 9x – 1,5x2
M(0) = 0
M1 = 0
Punkt “2”
M(x) = 9x – 1,5x2
M(4) = 9 · 4m – 1,5 · 42
M(4) = 36 – 24
M(4) = 12kNm
M2 = 12kNm
Punkt “3”
Musimy zebrać obciążenie z jednej strony punktu. Ponieważ mniej sił jest z prawej strony będziemy liczyć z prawej – im mniej obliczeń tym mniejsza szansa na pomyłkę.
M3 = – 4kN · 1,5m + 4kN · 3m
M3 = 6kNm
Punkt “A”
Idąc od dołu
MA = 4kN · 1,5m
MA = 6kN
Punkt “4”
M4 = 0
3.2 Siły tnące
Żeby wyznaczyć siły tnące musimy zamienić obciążenie w płaszczyźnie Y na obciążenie działające prostopadle do pręta. Najpierw musimy zrzutować nasze obciążenie na pręt
Nowe obciążenie q’ na długości x’ musi być równe staremu obciążeniu q na długości x. Otrzymujemy zależność:
q’ · x’ = q · x
Wyznaczmy teraz długość x’
Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej cos α
cos α = x / x’
x’ = x / cos α
Po podstawieniu do naszej zależności wartość q’ wynosi:
q’ = q · cos α
a nasze obciążenie wygląda teraz tak:
Teraz rozłożymy to obciążenie na składową T (prostopadłą do pręta) i N (równoległą do pręta.)
Kolejny raz korzystamy z funkcji trygonometrycznych
cos α = T / qcos α
T = q cos2 α
sin α = N / qcosα
N = q · cos α · sin α
Mamy już wartość obciążenia q na płaszczyźnie T i N (nie zapominajmy, że to obciążenie rozłożone w jednostkach kN/m). Teraz musimy jeszcze tylko rozłożyć reakcję V1 na składowe prostopadłe i równoległe do pręta.
Siła tnąca A = 9 cos α
Siła osiowa B = 9 sin α
Mając już elegancko rozłożone obciążenie możemy przystąpić do wyznaczenia sił tnących.
Przedział “1-2”
Nasze równanie będzie wyglądać następująco:
T1-2 = A – T · x
T1-2 = 9kN · cos α – q cos2 α · x
T1-2 = 9 · 4/5 – 3 ·(4/5)2 · x
T1-2 = 9 · 0,8 – 3 · (0,8)2 · x
T1-2 = 7,2 – 1,92x
Punkt “1”
T(x) = 7,2 – 1,92x
T(0) = 7,2kN
T1 = 7,2kN
Punkt “2”
T(x) = 7,2 – 1,92x
T(5) = 7,2 – 1,92 · 5
T2 = – 2,4kN
Przedział “2-3”
Siły tnące na tym przedziale i dalszych rozpatrujemy juz wg starej zasady.
T2-3 = 9kN – 3kN/m · 4m
T2-3 = 9kN – 12kN
T2-3 = -3kN
Przedział “4-A”
T4-A = -4kN
Przedział “A-3”
TA-3 = -4kN + 4kN
TA-3 = 0
3.3 Siły osiowe
Przedział “1-2”
Obciążenie przy okazji sił tnących już przerobiliśmy na nasze potrzeby. Teraz wystarczy tylko ułożyć równanie.
N1-2 = – B + N · x
N1-2 = – 9kN · sin α + q cosα sinα · x
N1-2 = – 9 · 3/5 + 3 ·0,8 · 0,6 · x
N1-2 = – 5,4 + 1,44 · x
N1-2 = 1,44x – 5,4
Punkt “1”
N1-2 = 1,44x – 5,4
N(0) = – 5,4kN
N1 = -5,4kN
Punkt “2”
N1-2 = 1,44x – 5,4
N(5) = 1,44 · 5 – 5,4
N(5) = 1,8kN
N2 = 1,8kN
Przedział “4-A”
N4-A = -3kN
Przedział “A-3”
NA-3 = -3kN
Przedział “3-2”
N3-2 = 4kN – 4kN
N3-2 = 0
4. Wykresy sił przekrojowych
