Statyka

Menu główne
Strona główna
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Rama z prętem ukośnym

Przykład 3 - rama z prętem ukośnym

 

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność.

Liczba więzi e =3
Liczba tarcz t = 1

e = 3t

3 = 3 · 1

3=3

Warunek spełniony układ jest statycznie wyznaczalny.

Tarcza 1 jest połączona z fundamentem za pomocą trzech więzi. Zatem na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach tworzą jedna wspólna tarczę. Uklad jest geometrycznie niezmienny.

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór.

Do wyznaczenia reakcj nie ma potrzeby rozkładania obciążenia i rzutowania go na pręt. Traktujemy je normalnie tak jakby było przyłożone normalnie do pręta.

ΣM4 = 0

V1 · 6m - 3kN/m · 4m · 4m - 4kN · 1,5m = 0

V1 · 6m - 48kNm - 6kNm = 0

V1 · 6m - 54 = 0

V1 · 6m = 54

V1 = 9kN

 

ΣY = 0

- V1 + 3kN/m · 4m - V4 = 0

- 9kN + 12kN - V4 = 0

V4 = 3kN

 

ΣX = 0

H4  - 4kN= 0

H4 = 4kN

 

Sprawdznie:

ΣM2 = 0

V1 · 4m - 3kN/m · 4m · 2m + 4kN · 1,5m - H4 · 3m - V4 · 2m = 0

9kN · 4m - 24kNm + 6kNm - 4kN · 3m - 3kN · 2m = 0

36kNm - 24kNm + 6kNm - 12kNm - 3kNm = 0

0 = 0

Reakcje policzone poprawnie

 

3. Siły przekrojowe.

3.1 Momenty zginające

Przedział "1-2"

Do obliczenia momentów zginających rozkładanie czy rzutowanie obciążenia również nie jest konieczne. Równanie momentu będziemy układać idać od lewej strony (zgdonie ze strzałką x) w płaszczyśnie poziomej.

M(x) = 9kN · x - 3kN/m · x  · 0,5 · x

M(x) = 9x - 1,5x2

Ekstremum:

M(x) = 9x - 1,5x2

M'(x) = 9 - 3x

0 = 9 - 3x

x = 3m

 

M(x) = 9x - 1,5x2

M(0) = 9 · 3 - 1,5 · 33

M(0) = 27 - 13,5

M(0) = 13,5kNm

 

Punkt "1"

M(x) = 9x - 1,5x2

M(0) = 0

M1 = 0

 

Punkt "2"

M(x) = 9x - 1,5x2

M(4) = 9 · 4m - 1,5 · 42

M(4) = 36 - 24

M(4) = 12kNm

M2 = 12kNm

 

Punkt "3"

Musimy zebrac obciązenie z jednej strony punktu. Ponieważ mniej sił jest z prawej strony bedziemy liczyć z prawej - im mniej obliczeń tym mniejsza szansa na pomyłkę.

M3 = - 4kN · 1,5m + 4kN · 3m

M3 = 6kNm


Punkt "A"

Idąc od dołu

MA = 4kN · 1,5m

MA = 6kN

 

Punkt "4"

M4 = 0

 

 

3.2 Siły tnące

Żeby wyznaczyć siły tnące musimy zamienić obciążenie w płaszczyźnie Y na obciążenie działające prostopadle do pręta.

Najpierw musimy zrzutowac nasze obciążenie na pręt

Nowe obciążenie q' na długości x' musi byc równe staremu obciążenniu q na długości x. Otrzymujemy zależność:

q' · x' = q · x

Wyznaczmy teraz długość x'

Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej cos α

cos α = x / x'

x' = x / cos α

Po podstawieniu do naszej zależności wartośc q' wynosi:

q' = q · cos α

a nasze obciążenie wygląda teraz tak:

 

Teraz rozlożymy to obciążenie na składową T (prostopadłą do pręta) i N (równoległą do pręta.)

Kolejny raz korzystamy z funkcji trygonometrycznych

cos α = T / qcos α

T = q cos2 α

sin α = N / qcosα

N = q · cos α · sin α

 

Mamy już wartośc obciążenia q na płaszczyźnie T i N (nie zapominajmy, że to obciążenie rozłożone w jednostkach kN/m)

Teraz musimy jeszcze tylko rozłożyć reakcję V1 na składowe prostopadłe i równoległe do pręta.

Siła tnąca A = 9 cos α

Siła osiowa B = 9 sin α

Mając juz elegancko rozłożone obciążenie możemy przystąpic do wyznaczenia sił tnacych.

 

Przedział "1-2"

Nasze równanie bedzie wygldać następująco:

T1-2 = A - T · x

T1-2 = 9kN · cos α - q cos2 α · x

T1-2 = 9 · 4/5 - 3 ·(4/5)2 · x

T1-2 = 9 · 0,8 - 3 · (0,8)2 · x

T1-2 = 7,2 - 1,92x

 

Punkt "1"

T(x) = 7,2 - 1,92x

T(0) = 7,2kN

T1 = 7,2kN


Punkt "2"

T(x) = 7,2 - 1,92x

T(5) = 7,2 - 1,92 · 5

T2 = - 2,4kN

 

Przedział "2-3"

Siły tnące na tym przedziale i dalszych rozpatrujemy juz wg starej zasady.

T2-3 = 9kN - 3kN/m · 4m

T2-3 = 9kN - 12kN

T2-3 = -3kN


Przedział "4-A"

T4-A = -4kN


Przedział "A-3"

TA-3 = -4kN + 4kN

TA-3 = 0


3.3 Siły osiowe


Przedział "1-2"

Obciążenie przy okazji sił tnacych już przerobiliśmy na nasze potrzeby. Teraz wystarczy tylko ułożyc równanie.

N1-2 = - B + N · x

N1-2 = - 9kN · sin α + q cosα sinα · x

N1-2 = - 9 · 3/5 + 3 ·0,8 · 0,6 · x

N1-2 = - 5,4 + 1,44 · x

N1-2 = 1,44x  - 5,4

 

Punkt "1"

N1-2 = 1,44x  - 5,4

N(0) = - 5,4kN

N1 = -5,4kN


Punkt "2"

N1-2 = 1,44x  - 5,4

N(5) = 1,44 · 5 - 5,4

N(5) = 1,8kN

N2 = 1,8kN

 

Przedział "4-A"

N4-A = -3kN

 

Przedział "A-3"

NA-3 = -3kN

 

Przedział "3-2"

N3-2 = 4kN - 4kN

N3-2 = 0

 

4. Wykresy sił przekrojowych

 

 

 

 

 

Inne przykłady


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014