Statyka

Menu główne
Strona główna
Projekty
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Rama otwarta

Przykład 1 - rama

 

1. Wyznaczenie statycznej wyznaczalności i geometrycznej niezmienności.

Liczba więzi e = 6 (przegub odbiera 2 stopnie swobody)
Liczba tarcz e = 2

e = 3t

6 = 3 · 2

6 = 6

Układ jest statycznie wyznaczalny.

Tarcza 1 jest połączona z tarczą 0 i 2 za pomocą 2 więzi
Tarcza 2 jest połączona z tarczą 0 i 1 za pomocą 2 więzi
Tarcza 0 jest połączona z tarczą 1 i 2 za pomocą 2 więzi
Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach tworza jedną wspólna tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór.

Chcąc policzyć reakcje w tym układzie musimy pamiętać o tym, że moment w przegubie jest zawsze równy zero. Co nam to da? Otóż suma momentów zarówno z lewej jak i prawej strony przegubu musi byc równa zero. Jeśli nie skorzystalibyśmy z tego faktu musielibyśmy rozwiązywac układ równań, co znacznie wydłużyłoby czas liczenia. Zacznijmy liczyć reakcje od punktu B.

ΣMBD = 0

-6kN · 2m - H1 · 4m = 0

-12kNm - H1 · 4m = 0

H1 · 4m = -12kNm

H1 = -3kN

Mając policzoną ta reakcję, z łatwością możemy obliczyc pozostałe.

ΣX = 0

-3kN + 6kN - H2 = 0

3 kN - H2 = 0

H2 = 3kN

 

ΣMBP = 0

3kN/m · 4m · 2m - V2 · 6m + H2 · 2m = 0

24kNm - V2 · 6m + 3kN · 2m = 0

24kNm - V2 · 6m + 6kNm = 0

V2 · 6m = 30 kNm

V2 = 5kN

 

ΣY = 0

- V1 + 3kN/m · 4m - 5kN = 0

V1 = 7 kN

 

Sprawdzenie:

ΣMC = 0

V1 · 4m - H1 · 4m - 6kN · 2m - 3kN/m · 4m · 2m + H2 · 2m - V2 · 2m = 0

7kN · 4m - (-3kN) · 4m - 6kN · 2m - 3kN/m · 4m · 2m + 3kN · 2m - 5kN · 2m = 0

28kNm + 12kNm - 12kNm - 24kNm + 6kNm - 10kNm = 0

0 = 0

Reakcje policzone poprawnie.


3. Siły przekrojowe

 

3.1 Momenty zginające

Każdy pręt staramy sobie wyobrazić jako belke prostą, momety liczy sie według znanej wam już zasady. Momenty znakujemy tak samo jak w belkach. Jeśli łatwiej będzie Ci na początku spróbuj obrócic kartkę, by pręt przypominał Ci belkę.

Punkt "1"

M1 = 0

 

Punkt "A"

MA = 3kN · 2m

MA = 6kNm

 

Punkt "B"

Ponieważ tu znajduje się przegub, moment powinien nam wyjśc zero. Sprawdźmy:

MB = 3kN · 4m - 6kN · 2m

MB = 12kNm - 12kNm

MB = 0

 

Przedział (B,C)

Na tym przedziale działa obciążenie rozłożone, więc musimy ułożyc odpowiednie równanie. Ale jak je ułożyć? Które siły wziąć,? przecież tu sie nam łamie nasza rama! Nic trudnego. Jedyna siła z lewej strony, która może mieć wpływ to reakcja pionowa. Pozostałe dwie poziome nie dzadzą żadnego momentu (znioszą sie wzjamenie). Przyjrzyjmy sie z bliska tej sytuacjil:

Zauważcie, że siła która bedzie dawała moment na odcinku B-C (będzie również siłą tnącą) jest siłą osiową na odcinku 1-B. Mając już tą wiedzę, ułóżmy równanie.

M(x) = 7kN · x - 3kN/m · x · 0,5 · x

M(x) = 7x - 1,5x2

Równanie gotowe, określmy teraz ekstremum momemtu na tym przedziale.

M'(x) = 7 - 3x

7 - 3x = 0

3x = 7

x = 2,33m

Wartość ekstremalna momentu znajduje się w x = 2,33m

M(x) = 7x - 1,5x2

M(2,33) = 7 · 2,33 - 1,5 · (2,33)2

M(2,33) = 16,31 - 8,14

M(2,33) = 8,17kNm

Teraz policzmy wartośc na końcu przedziału, czyli w punkcie "C" (x=4m)

M(x) = 7x - 1,5x2

M(4) = 7 · 4 - 1,5 · 42

M(4) = 28 - 24

M(4) = 4kNm

MC = 4kNm

 

Punkt "D"

Łatwiej będzie jeśli policzymy go idąc od strony prawej, mamy tam tylko jedną siłę.

MD = 5kN · 2m

MD = 10 kNm

 

Punkt "2"

M2 = 0

 

3.2 Siły tnące

Zasady obliczania sił tnących sa takie same jak dla belek. 

 

Przedział "1-A"

Jeśli tak obrócimy nasz pręt by przypominal belkę, będzie Wam na początku łatwiej obliczyć tnące. Pamiętajcie o znakowaniu!

T1-A = 3kN

 

Przedział "A-B"

TA-B = 3kN - 6kN

TA-B = - 3kN

 

Przedział "B-C"

Nie musimy układać nowego równania. Wystarczy pamietać, że siła tnąca to pierwsza pochodna momentu. Ponieważ bedzie to prosta, musimy znac jej wartość na początku i na końcu przedziału.

Początek przedziału:

T(x) = 7 - 3x

T(0) = 7kN

Zauważcie, że siła 7kN to nasza reakcja.

Koniec przedziału:

T(x) = 7 - 3x

T(4) = 7 - 3 · 4

T(4) = 7 - 12

T(4) = - 5kN

 

Przedział "C-D"

Spójrzmy na całą rame jeszcze raz:

Siłą tnącą będzie siła -3kN + 6kN= 3kN (z lewej), oraz 3kN = 3kN (z prawej). Jak widać nie ma znaczenia z której strony bedziemy iść, zawsze powinnismy otrzymac tą sama wartość. Zatem

TC-D = 3kN

 

Przedział "D-2"

Patrząc jeszcze raz na cała ramę widzimy, że siła tnąca tym odcinku bedzie wynosić -5 kN

Idąć z lewej:

TD-2 = 7kN - 12kN

TD-2 = -5kN

 

Idąc z prawej mamy tylko naszą reakcję. Pamiętając o znakowaniu

TD-2 = -5kN

 

3.3 Siły osiowe

Zasada obliczania taka jak dla belek.

 

Przedział "1-A"

Jedyna siłą osiową jest tu nasza reakcja 7kN. Jak wynika z rysunku bedzie ściskać nasz pręt.

N1-A = -7kN

 

Przedział "A-B"

Nie dochodzi nam żadna inna siła pozioma, działa dalej tylko nasza reakcja.

NA-B = -7kN

 

Przedział "B-C"

Na tym przedziale siła osiowa bedzie się równać co do wartości sile tnacej z odcinka poprzedniego. Jeśli chcecie to mimo wszystko jeszcze raz policzyć, spójrzcie na rysunek ramy. Dodajcie do siebie siły i powinniście otrzymac wartośc 3kN. (3kN - 6kN = -3kN) Ponieważ otrzymana siła ściska nam pręt będzie siłą ujemną.

NB-C = -3kN

 

Przedział "C-D"

Policzmy ja od prawej strony. Jedyna pionowa siłą z prawej strony jest reakcja 5kN w punkcie 2. Przeniesmy ja do punktu D. Widzimy, że bedzie nam ona sciskać pręt. Będzie zatem ujemna.

NC-D = -5kN

 

Przedział "D-2"

Tu kazdy beż żadnych problemów powinien juz sam, bez pomocy wyznaczyć siłę osiową.

ND-2 = -3kN

 

Świetnie! Teraz wykresy.

 

4. Wykresy sił przekrojowych.

Tu inaczej niż w belkach, będziemy wykresy przedstawiań nie pod spodem belki, a bezpośrednio na ramie.

 

 

 

 

Inne przykłady


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014