Statyka

Menu główne
Strona główna
Projekty
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Belka prosta

Przykład 1 - belka prosta swobodnie podparta.

 

1. Wyznaczenie statycznej wyznaczalności i geometrycznej niezmienności.

Jest to belka prosta więc mamy tylko jedną tarczę.
Liczba więzi e=3
Liczba tarcz t=1

e = 3t

3 = 3 · 1

3 = 3

Warunek spełniony - układ jest statycznie wyznaczalny.

Tarcza 1 połączona jest z fundamentem za pomocą 3 więzi niezbieżnych i nierównoległych, zatem zgodnie z twierdzeniem o 2 tarczach tworzą jedną wspólną tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór

Oznaczmy najpierw reakcje. Dla porządku przyjmijmy zasadę, że reakcję pionowe będziemy oznaczać literką "V", a poziome "H".

Mamy 3 reakcje: 2 pionowe (V1, V2) oraz jedną poziomą (H2). Żeby je obliczyć musimy skorzystać z warunku, że suma wszystkich momentów w dowolnym punkcie jest równa zero (ΣM=0). Jeśli chcemy uniknąć budowania układów równań, należy pamiętać o jeszcze jednej zasadzie: jeśli siła przechodzi przez punkt, w którym chcemy obliczyć moment to moment od tej siły w tym punkcie wynosi zero (ponieważ ramię wynosi 0). Zacznijmy od punktu "1"

ΣM1=0

4kN · 2m + 2kN/m · 4m ·6m - V2 · 8m = 0

8kNm + 8 kN · 6 m -V2 · 8m = 0

8kNm + 48 kNm - V2 · 8m = 0

56 kNm = V2 · 8m

V2 = 7 kN

Mamy policzoną reakcję V2. Teraz czas policzyć reakcję V1. Korzystamy z warunku, że suma rzutów wszystkich sił pionowych jest równa 0 (ΣY=0)

- V1 + 4kN + 8kN - V2 = 0

- V1 + 4kN + 8kN - 7kN = 0

- V1 + 5kN = 0

V1 = 5kN

Znamy już wszystkie reakcje pionowe, została nam jeszcze jedna - pozioma. Od razu widać, że będzie równa zero, ponieważ nie ma żadnych sił poziomych (ukośnych), od których mogłaby powstać.

H2 = 0

 

3. Siły przekrojowe

W tym przykładzie dla przejrzystości skupimy się tylko na momentach zginających. Siły tnące oraz siły osiowe znajdziecie w późniejszych, trudniejszych przykładach.

Przed przystąpieniem do obliczania momentów zginających oznaczmy włókna porównawcze (szara przerywana linia). Jeżeli belka zginając się będzie je rozciągała to moment będzie dodatni, jeśli  ściskała - ujemny. Jest to bardzo ważne. W tym punkcie zapominamy o zasadzie "zegara". Moment kręcący zgodnie z ruchem wskazówek zegara niekoniecznie będzie dodatni.

 

 

Zaczynamy od lewej strony. Ponieważ wykres momentów od sił skupionych jest linia prostą nie musimy układać równań. Wystarczy policzyć go w punktach charakterystycznych, czyli w punktach, w których "coś się dzieje" jak np. miejsce przyłożenia innej siły, podpora, początek nowej belki... itd.

 

 

Punkt "1"

Moment na początku belki swobodnie podpartej jest równy zero.

M1 = 0

 

Punkt "A"

W powiększeniu sytuacja wygląda tak:

Jedyna siła od której powstanie moment w punkcie A to nasza reakcja 5 kN. Siła o wartości 4kN przechodzi przez nasz punkt, więc nie powstanie od niej żaden moment. Zobaczmy jak siła będzie oddziaływała na belkę i włókna porównawcze:

Jak widać na powyższym rysunku, siła będzie nam rozciągała włókna porównawcze, zatem będzie dawała moment dodatni.

MA = 5kN · 2m

MA = 10 kNm


Punkt "B"

Moment w punkcie B powstanie od naszej reakcji 5 kN oraz od siły 4 kN. Ustaliliśmy już wcześniej, że moment od reakcji 5 kN będzie dodatni. Teraz czas ustalić znak dla momentu od siły 4kN.

Na powyższym wycinku wydzimy wyodrębnioną siłę 4 kN skierowaną pionowo w dół. Oddziałuje na belkę i włókna porównawcze tak:

Siła będzie nam ściskać włókna porównawcze, zatem moment będzie ujemny. Znając znaki poszczególnych momentów czas określić ich wartości. Reakcja 5kN znajduje się w odległości 4m od punktu B, natomiast siła 4kN tylko 2m

MB = 5kN · 4m - 4kN · 2m

MB = 20 kNm - 8 kNm

MB = 12 kNm

 

W punkcie B zaczyna nam się obciążenie równomiernie rozłożone o wartości 2 kN/m. Ponieważ nie ma znaczenia, z której strony liczymy (moment powinien wyjść zawsze taki sam) dla łatwości obliczeń policzymy to idąc z prawej strony, czyli od punktu 2 w lewo.

 

Punkt "2"

Moment na końcu belki swobodnie podpartej jest równy zero.

M2 = 0

 

Punkt "C"

Musimy ułożyć równanie, które pozwoli nam obliczyć moment pod obciążeniem rozłożonym. Sytuacja z bliska wygląda następująco:

 

Belka zgina się w sposób następujący:

 

Czas napisać równanie.

M(x) = 7 · x - 2 · x · 0,5 · x

M(x) = 7x - x2

Mamy równanie momentów w przedziale (B,2). Sprawdźmy czy dobrze je zapisaliśmy

Moment w punkcie "B"

M(x) = 7x - x2

M(4) = 7 · 4 - 42

M(4) = 28 - 16

M(4) = 12 kNm

Wróćmy teraz do miejsca w którym policzyliśmy moment w puncie B z lewej strony. Wyniki sie zgadzają, równanie zapisaliśmy poprawnie.

Zgodnie z teorią, wykres jest krzywą drugiego stopnia, żeby go narysować musimy wiedzieć w którym miejscu ma ekstremum. Obliczamy pochodną z momentu

M'(x) = 7 - 2x

0 = 7 - 2x

2x = 7

x = 3,5

Zatem ekstremum momentu będzie się znajdywało w x = 3,5m od punktu 2. Teraz trzeba obliczyć jego wartość.

M(x) = 7x - x2

M(3,5) = 7 · 3,5 - (3,5)2

M(3,5) = 24,5 - 12,25

M(3,5) = 12,25 kNm

Wartość maksymalna naszej funkcji wynosi 12,25 kNm w punkcie x = 3,5. Mając powyższe dane możemy przejść do rysowania wykresów momentów.

 

4. Wykresy sił przekrojowych

Wykresy momentów rysujemy zawsze po stronie włókien rozciąganych! W naszym przypadku zgodnie z tym co przyjęliśmy wcześniej momentem dodatnim jest ten, który rozciąga włókna porównawcze. Ostatecznie wykres wraz z belka wygląda następująco:

 

Na żółto zaznaczony odcinek paraboli (wykresy od obciążenia rozłożonego)
Na niebiesko zaznaczona wartość maksymalna momentu.

 

Inne przykłady


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014