Statyka

Menu główne
Strona główna
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Henneberg

Przykład 2 - Metoda Henneberga (wymiany prętów)

Wyznaczyć siłę osiową w Pręcie "W"

 

Metoda Henneberga (wymiany prętów) służy do rozwiązania rozbudowanych kratownic, których jedyną analityczną metoda rozwiązania jest ułożenie 2w równań. Ponieważ obliczenie takiego układu bez pomocy komputera zajęło by bardzo dużo czasu, wymyslono inna metodę. W skrócie polega ona na usunięciu jednego pręta, zastapieniu go siłą X i dołożeniem go w innym miejscu (nowo powstała kratownica musi być także SW i GN). Na przykładzie powyższej kratownicy pokażę jak rozwiązywać takie przypadki. Wbrew pozorom wcale nie jest to trudne. Zakładam, że dochodząc do tego etapu metoda przecieć (Rittera) nie jest nikomu obca. 

 

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność

Postepujemy tak jak w przypadku "zwykłych" kratownic: liczymy liczbę węzłów, prętów oraz reakcji.

Liczba węzłów w = 13
Liczba prętów p = 23
Liczba reakcji r = 3

2 · w = p + r

2 · 13 = 23 + 3

26 = 26

Kratownica jest statycznie wyznaczalna.

Geometryczna niezmienność, ze względu na skomplikowanie udowodniłem na obrazkach >>klik<<

Układ jest geometrycznie niezmienny

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór

 

Reakcje wyznacza się tak jak w przypadku prostych kratownic.

 

ΣM1 = 0

4kN · 4m + 8kN · 8m + 4kN · 12m - V13 · 16m = 0

16kNm + 64kNm + 48kNm - V13 · 16m = 0

V13 · 16m = 128kNm

V13 = 8kN

 

ΣY = 0

- V1 + 8kN + 4kN - V13 = 0

- V1 + 8kN + 4kN - 8kN = 0

- V1 + 4kN = 0

V1 = 4kN

 

ΣX = 0

- H1 + 4kN = 0

H1 = 4kN

 

Sprawdzenie

 

ΣM7 = 0

V1 · 8m + H1 · 2m + 4kN · 2m + 4kN · 4m - V13 · 8m = 0

4kN · 8m + 4kN · 2m + 4kN · 2m + 4kN · 4m - 8kN · 8m = 0

32kNm + 8kNm + 8kNm + 16kNm - 64kNm = 0

 64kNm - 64kNm = 0

0 = 0

 

Reakcje policzone poprawnie

 

3. Siły osiowe

Ponieważ nie można znaleźć miejsca, w którym za jednym razem przecięlibyśmy tylko 3 pręty musimy zastosowac metodę wymiany prętów.

Usuwamy jeden pręt (w naszym przypadku jest to pręt 4-8) i dokładamy nowy w innym miejscu (pręt 8-9). Usunięty pręt zastępujemy nieznaną siła xNależy pamiętać by nowa kratownica była geometrycznie niezmienna. 

Kratownicę bedziemy musieli rozwiązac dwa razy: raz od obciążenia danego (sił P) i drugi od obciążenia x = 1. Będziemy korzystali z metody superpozycji:

Ni = NiP + X · Ni1

gdzie:

NiP - siła osiowa w pręcie od obciążenia P

X - zależność (o tym za chwilę)

Ni1 - siła osiowa w pręcie od obciążenia x = 1

 

Do wyznaczenia X posłuży nam siła osiowa w pręcię dołożonym (8-9):

Zi = ZiP + X · Zi1

gdzie:

ZiP - siła osiowa w dołożonym pręcie od obciążenia P

X - zależność

Zi1 - siła osiowa w dołożonym pręcie od obciążenia x = 1

Poniważ siła osiowa w dołożonym pręcie musi wynosić 0 (w końcu tego pręta tam nie ma) otrzymujemy zależność:

0 = ZiP + X · Zi1

X = - Z1P / Zi1

 

3.1 Rozwiązanie kratownicy od obciążenia danego

Nowa kratownicę rozwiązujemy juz dowolną metodą np. metoda przecięć (Rittera):

Ustalmy najpierw oznaczenia. Ponieważ rozwiązujemy kratownicę od obciążenia danego (P) przy literce N oznaczającej siłę osiową bedziemy dodawali indeks górny P. (NP)

 

Najpierw policzmy siłę osiową w pręcie 7-5

sinγ = 2m / 2,83m
sinγ = 0,7067

cosγ = 2m / 2,83m
cosγ = 0,7067


N7-5 = N7-5X / cosγ
N7-5 = N7-5Y / sinγ

 

ΣM6 = 0

N7-5X · 4m + 4kN · 4m - 8kN · 8m = 0

N7-5X · 4m + 16kNm - 64kNm = 0

N7-5X · 4m = 48kNm

N7-5X = 12kN

N7-5 = N7-5X / cosγ

N7-5 = 12kN / 0,7067

N7-5P = 16,98kN

Obliczyliśmy właśnie siłę w pręcie W od obciążenia danego

 

Siła osiowa w pręcie 6-2

sinα = 2m / 6,32m
sinα = 0,3165
cosα = 6m / 6,32m
cosα = 0,9494

N6-2 = N6-2X / cosα
N6-2 = N6-2Y / sinα

 

ΣM5 = 0

- N6-2X · 2m + N6-2Y · 2m + 8kN · 2m + 4kN · 6m - 8kN · 10m = 0

- N6-2X · 2m + N6-2Y · 2m + 16kNm + 24kNm - 80kNm = 0

- N6-2X · 2m + N6-2Y · 2m = 40kN

- (N6-2 · cosα) · 2m + (N6-2 · sinα) · 2m = 40kN

- (N6-2 · 0,9494) · 2m + (N6-2 · 0,3165) · 2m = 40kN

-1,8988 · N6-2 + 0,633 · N6-2 = 40kN

-1,2658N6-2 = 40kN

N6-2P = - 31,60kN

 

Siła osiowa w pręcie 6-5

sinβ = 2m / 2,83m
sinβ = 0,7067

cosβ = 2m / 2,83m
cosβ = 0,7067

N6-5 = N6-5X / cosβ
N6-5 = N6-5Y / sinβ

ΣM7 = 0

- N6-2X · 4m - N6-5X · 4m + 4kN · 4m - 8kN · 8m = 0

30kN · 4m - N6-5X · 4m + 16kNm - 64kNm = 0

120kNm - N6-5X · 4m + 16kNm - 64kNm = 0

N6-5X · 4m= 72kNm

N6-5X = 18kN

N6-5P = N6-5X / cosβ

N6-5P = 18kN / 0,7067

N6-5P = 25,47kN

 

Kolejny przekrój:

 

Siła osiowa w pręcie 11-8

 

ΣM9 = 0

- N6-2X · 2m - N6-2Y · 2m - N6-5X · 2m - N6-5Y · 2m - 8kN · 2m + N11-8 · 4m + 4kN · 2m - 8kN · 6m = 0

30kN · 2m + 10kN · 2m - 18kN · 2m - 18kN · 2m - 16kNm + N11-8 · 4m + 8kNm - 48kNm = 0

60kNm + 20kNm - 36kNm - 36kNm - 16kNm + N11-8 · 4m + 8kNm - 48kNm = 0

N11-8 · 4m = 48kNm

N11-8 P= 12kN

 

Siła w pręcie 9-8 (dołożonym)

sinδ = 4m / 4,47m
sinδ = 0,8949

cosδ = 2 / 4,47
cosδ = 0,4474

N9-8 = N9-8X / cosδ
N9-8 = N9-8Y / sinδ

ΣM7 = 0

- N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m - N6-2X · 4m - N6-5X · 4m + N11-8 · 2m + 4kN · 4m - 8kN · 8m = 0

- N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m + 30kN · 4m - 18kN · 4m + 12kN · 2m + 16kNm - 64kNm = 0

- N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m + 24kNm = 0

- (N9-8 · cosδ) · 2m + (N9-8 · sinδ) · 2m = -24kNm

- (N9-8 · 0,4474) · 2m + (N9-8 · 8949) · 2m = -24kNm

0,895 · N9-8 = -24kNm

N9-8= -26,82kN

Z9-8P = -26,82kN

 

Obliczylismy właśnie siłę osiową w pręcie dołożonym od obciążenia P

 

3.2 Rozwiązanie kratownicy od obciążenia x = 1

Kratownicę rozwiązujemy traktując to obciżenie jakby było normalnym obciążeniem. Polecam liczyc analogicznie do przypadku z punktu 3.1, ponieważ mamy już ułożone równania i policzone sinusy i cosinusy.

Teraz siły osiowe bedziemy oznaczać z indeksem 1 (N1)

 

Siła osiowa w pręcie 7-5

sinγ = 2m / 2,83m
sinγ = 0,7067

cosγ = 2m / 2,83m
cosγ = 0,7067


N7-5 = N7-5X / cosγ
N7-5 = N7-5Y / sinγ

 

ΣM6 = 0

N7-5X · 4m + 1 · 6m = 0

N7-5X · 4m = - 6m

N7-5X = -1,5

N7-5 = N7-5X / cosγ

N7-5 = -1,5 / 0,7067

N7-51 = -2,12

 

Obliczyliśmy siłe w pręcie W od obciążenia x = 1

 

Siła osiowa w pręcie 6-2

sinα = 2m / 6,32m
sinα = 0,3165
cosα = 6m / 6,32m
cosα = 0,9494

N6-2 = N6-2X / cosα
N6-2 = N6-2Y / sinα

 

ΣM5 = 0

N6-2X · 2m + N6-2Y · 2m + 1 · 4m = 0

- (N6-2 · cosα) · 2m + (N6-2 · sinα) · 2m = - 4m

-1,2658 N6-2 = - 4m

N6-21 = 3,16

 

 

Siła osiowa w pręcie 6-5

sinβ = 2m / 2,83m
sinβ = 0,7067

cosβ = 2m / 2,83m
cosβ = 0,7067

N6-5 = N6-5X / cosβ
N6-5 = N6-5Y / sinβ

ΣM7 = 0

N6-2X · 4m - N6-5X · 4m + 1 · 2m = 0

- 3 · 4m - N6-5· 4m + 2m = 0

N6-5X · 4m = - 10m

N6-5X = - 2,5

N6-5 = N6-5X / cosβ

N6-5 = - 2,5 / 0,7067

N6-51 = -3,54

 

Przekrój B-B

 

Siła osiowa w pręcie 11-8

 

ΣM9 = 0

N6-2· 2m - N6-2Y · 2m - N6-5X · 2m - N6-5Y · 2m + N11-8 · 4m = 0

-3 · 2m - 1 · 2m + 2,5 · 2m + 2,5 · 2m + N11-8 · 4m = 0

N11-8 · 4m = - 2m

N11-81 = - 0,5


Siła w pręcie 9-8 (dołożonym)

sinδ = 4m / 4,47m
sinδ = 0,8949

cosδ = 2 / 4,47
cosδ = 0,4474

N9-8 = N9-8X / cosδ
N9-8 = N9-8Y / sinδ

ΣM7 = 0

N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m - N6-2X · 4m - N6-5X · 4m + N11-8 · 2m  = 0

- N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m - 3 · 4m + 2,5 · 4m - 0,5 · 2m = 0

N9-8X · 2m + N9-8Y · 2m  = 3m

- (N9-8 · cosδ) · 2m + (N9-8 · sinδ) · 2m = 3m

- (N9-8 · 0,4474) · 2m + (N9-8 · 8949) · 2m = 3m

0,895 · N9-8 = 3m

N9-8= 3,35

Z9-81 = 3,35


Obliczylismy właśnie siłę osiową w pręcie dołożonym od obciążenia x = 1

 

3.3 Obliczenie sił osiowych

Obliczmy najpierw wartość "X"

 

0 = ZiP + X · Zi1

X = - Z9-8P / Z9-81 

X = - (-26,82kN) / 3,35

X = 8kN


Dzięki obliczeniu wartości X "połączyliśmy" ze sobą wyniki obliczeń sił osiowych dwóch przypadków obciążeń. Obliczmy teraz siłę osiowa w pręcie W (7-5)

 

Ni = NiP + X · Ni1

N7-5 = N7-5P + X · N7-51

N7-5 = 16,98kN + 8kN · (-2,12)

N7-5 = 0


Jak widać siła osiowa w pręcie W jest równa 0. Pręt ten jest zatem pretem zerowym.

 

I to wszystko, wartość siły osiowej obliczona. Powodzenia z trudniejszymi przypadkami!


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014