Statyka

Menu główne
Strona główna
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Rama zamknięta

Przykład 2 - rama z komorą zamkniętą.

 

1. Wyznaczenie statycznej wyznaczalności i geometrycznej niezmienności.

Liczba więzi e = 9
Liczba tarcz t = 3

e = 3t

9 = 3 · 3

9 = 9

Układ jest statycznie wyznaczalny

Tarcza 1 jest połączona z tarczą 3 i 2 za pomocą 2 więzi
Tarcza 2 jest połączona z tarczą 1 i 3 za pomocą 2 więzi
Tarcza 3 jest połączona z tarczą 1 i 2 za pomocą 2 więzi
Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach tworza jedną wspólna tarczę. Nowo powstała tarcza, jest połączona z fundamenten (tarcza 0) za pomocą 3 więzi, zatem na podstawie o dwóch tarczach tworzą jedną wspólną tarczę. Cały układ jest geometrycznie niezmienny.

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór

 

 

Reakcja V2

ΣM1 = 0

6kNm - 4kN · 2m + 2kN/m · 2m · 3m - V2 · 4m = 0

6kNm - 8kNm + 12 kNm - V2 · 4m = 0

10kNm - V2 · 4m = 0

V2 = 2,5kN

 

Reakcja V1

ΣY = 0

- V1 + 4kN + 2kN/m · 2m - V2 = 0

- V1 + 4kN + 4kN - 2,5kN = 0

V1 = 5,5 kN

 

Reakcja H1

ΣX = 0

H1 = 0

 

Sprawdzenie

ΣME = 0

- 4kN · 4m + 6kNm + V1 · 2m + H1 · 4m + 2kN/m · 2m · 1m - V2 · 2m = 0

- 4kN · 4m + 6kNm + 5,5kN · 2m + 0 · 4m + 2kN/m · 2m · 1m - 2,5 · 2m = 0

-16kNm + 6kNm + 11kNm + 4kNm - 5kNm = 0

0 = 0

Reakcje policzone poprawnie

 

3. Siły przekrojowe

 

By wyznaczyć siły przekrojowe musimy najpierw "otworzyć" komorę. Otwarcie komory to nic innego jak po prostu jej przecięcie. W miejscu przecięcia pojawiają nam się dodatkowe siły (siły przekrojowe), które należy oznaczyć i policzyć. Najlepiej komorę otwierać w miejscu, w którym tych sił bedzie najmniej np. jeśli otworzymy ramę w przegubie, automatycznei odpada nam moment, a jeśli w łyżwie siła tnąca. W naszym przypadku bedziemy otwierali w "ściągu". "Ściąg" to prosty pręt nieobciążony żadną siłą, połączony przegubowo z dwiema innymi tarczami, taki wycinek kratownicy, w którym występują tylko siły osiowe. Momenty zginające i siły tnące wynoszą zero. Zobaczmy:

Na pomarańczowo zaznaczone zostały siły, powstałe w wyniku przecięcia naszej ramy. Będą to jednocześnie siły osiowe tego pręta. Musimy je wyznaczyć by przejśc do obliczenia innych sił przekrojowych w tym układzie.

ΣMCD = 0

6kNm - 2m · N = 0

2m · N = 6kNm

N = 3kN

Mając obliczoną już tą siłę możemy przejść do obliczania sił przekrojowych. Będziemy ją traktować jak zwykłą zadaną nam siłe skupioną.

 


3.1 Momenty

Punkt "1"

M1 = 0

 

Punkt "A"

Działa nam tylko moment skupiony

M2 = 6kNm

 

Punkt "B"

Moment z prawej strony. Poniważ jest to przegub, moment bedzie sie równać zero

MBP = 0

 

Moment z dołu/góry bedzie się równał momentowi z punktu A, ponieważ żadna inna siła nie wpływa na niego.

MBD = 6kNm

 

Punkt "C"

Moment z dołu. Dochodzi nam siła powstała w wyniku przecięcia. Moment od niej bedzie ujemny, ponieważ bedzie nam ściskał włókna porównawcze. Znajduje się tu przegub więc moment powinien wyjść zero. Sprawdźmy:

MCD = 6kNm - 3kN · 2m

MCD = 6kNm - 6kNm

MCD = 0

 

Moment z lewej strony

MCL = 4kN · 2m

MCL = 8kNm

 

Moment z prawej strony będzie sie równał momentowi ze strony lewej.

MCP = 8kNm

Punkt "E"

By policzyć moment musimy "zebrać" wszystkie sily i momenty, które działają z jednej strony punktu. W naszym przypadku bedziemy szli ze strony lewej. Popatrzmy jeszcze raz na ramę:

 

Siły niebezpośrednio przyłożone do belki bierzemy ze znakami jakie miały przy wcześniejszym liczeniu momentu.

MEL = - 4kN · 4m + 5,5kN · 2m + 6kNm - 3kN · 2m

MEL = - 16kNm + 11kNm + 6kNm - 6kNm

MEL = - 5kNm

Przedział "F-E"

Bedziemy liczyli od prawej strony, jest tam mniej sił więc bedzie się liczyło łatwiej i szybciej. Podobnie jak wcześniej, przy układaniu równania musimy zebrać wszystkie siły (tym razem z prawej strony). Moment powstały do siły 3kN będzie stały tzn. bedzie wpływał na wielkośc momentu na przedziale F-E ale nie będzie się zmieniał, czyli będzie bez "x".

Równanie

M(x) = 2,5 · x - 2 · x · 0,5x - 3 · 2

M(x) = 2,5x - x2 - 6

M(x) = - x2 +2,5x - 6

Ekstremum:

M(x) = - x2 +2,5x - 6

M'(x) = - 2x + 2,5

0 = - 2x +2,5

2x = 2,5

x = 1,25m

A więc ekstremum momentu na tym przedziale jest w x=1,25m

M(x) = - x2 +2,5x - 6

M(1,25) = -1,252 + 2,5 · 1,25 - 6

M(1,25) = -1,5625 + 3,125 - 6

M(1,25) = -4,44 kNm

A więc moment maksymalny na tym przedziale wynosi -4,44kNm gdy x = 1,25m

Dla sprawdzenia policzmy moment w punkcie E wykorzystując nasze równanie:

M(x) = - x2 +2,5x - 6

M(4) = -22 + 2,5 · 2 - 6

M(4) = 4 + 5 - 6

M(4) = -5kNm

MEP = -5kNm

Zgadza się MEL = -5kNm

Został nam jeszcze moment w punkice F, czyli tam gdzie x = 0

M(x) = - x2 +2,5x - 6

M(0) = -6kNm

MF = -6kNm

 

Punkt "G"

Moment w tym punkcie równa się zero (nie tylko w przegubie). Zauważcie, że idąc od dołu nie ma od jakiej siły nam on powstać. Jeśli chcecie się sprawdzić policzcie od góry - moment również powinien wyjśc wam zero.

MG = 0

 

Punkt "2"

M2 = 0

 

3.2 Siły tnące

Przedział "1-A"

Brak sił od których mogła by powstać siła tnąca.

T1-A = 0

 

Przedział "A-B"

Tu również nie ma od czego powstać.

TA-B = 0

 

Przedział "B-C"

Siła tnącą bedzie siła powstała w wyniku przecięcia

TB-C = - 3kN

 

Przedział "D-C"

Działa nam tylko siła 4kN.

TD-C = - 4kN

 

Przedział "C-E"

Tu nie możemu zapomniec o reakcji 5,5kN która bedzie wpływała na siłe tnącą.

TC-E = - 4kN + 5,5 kN

TC-E = 1,5 kN

 

Przedział "E-F"

Możemy siłę tnącą policzyc dwoma sposobami.

1) Pochodna momentu to siła tnąca. Ale nie zapomnijmy, że równanie ułożylismy od strony prawej (zmiana znakowania dla sił tnących). Musimy zmienić znak równania

M'(x) = - 2x + 2,5

T(x) = 2x - 2,5

T(2) = 4 - 2,5

T(2) = 1,5

TE = 1,5kN

 

T(x) = 2x - 2,5

T(0) = - 2,5kN

TF = - 2,5kN


2) Układamy nowe równanie (z lewej strony)

T(x) = -4 + 5,5 - 2 x

T(x) = 1,5 - 2x


T(0) = 1,5

TE = 1,5kN

 

T(2) = 1,5 - 2 · 2

T(2) = 1,5 - 4

T(2) = - 2,5

TF = - 2,5kN

 

Przedział "G-F"

Idziemy od dołu. Siła tnąca powstaje od siły 3kN

TG-F = 3kN


Przedział "G-2"

Nie działa żadna siła, od której siła tnąca mogłaby powstać.

TF-2 = 0

 

3.3 Siły osiowe

 

Przedział "1-A"

Siła osiowa powstaje od naszej reakcji

N1-A = - 5,5kN

 

Przedział "A-B"

Działa tylko nasza reakcja

NA-B = - 5,5kN

 

Przedział "B-C"

Dalej działa tylko nasza reakcja

NB-C =- 5,5kN

 

Przedział "D-C"

Nie działa żadna siła pozioma.

ND-C = 0

 

Przedział "C-E"

Siła osiowa na tym przedziale powstaje od siły 3kN, siły w ściągu.

NC-E = - 3kN

 

Przedział "E-F"

Nic sie nie zmienia

NF = - 3kN

 


Przedział "2-G"

Siła osiowa powstaje od reakcji 2,5kN

NG-2 = -2,5kN


 

Przedział "G-F"

Idziemy od dołu. Siła osiowa powstaje od reakcji 2,5kN

NG-F = -2,5kN



4. Wykresy sił przekrojowych

 

 

 

 

 

Inne przykłady


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014