Statyka

Menu główne
Strona główna
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

Belka złożona

Przykład 2 - belka złożona

 

1. Statyczna wyznaczalność i geometryczna niezmienność.

Liczba więzi e = 9 (przegub odbiera dwa stopnie swobody)
Liczba tarcz t = 3

e = 3t

9 = 3 · 3

9 = 9

Warunek spełniony, układ jest statycznie wyznaczalny.

Tarcze 1 i 2 są połączone ze sobą za pomocą dwóch więzi
Tarcze 0 i 2 są połączone ze sobą za pomocą dwóch więzi
Tarcze 1 i 0 są połączone ze sobą za pomocą dwóch więzi
Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach tworzą jedną wspólna tarczę. Następnie nowopowstała tarcza połączona jest za pomocą trzech więzi z tarczą 3, zatem na podstawie o twierdzeniu o dwóch tarczach tworzą jedną wspólna tarczę. Układ jest geometrycznie niezmienny.

 

2. Wyznaczenie reakcji podpór

Przy obliczaniu reakcji korzystamy z faktu, że moment w przegubie zawsze jest równy zero. Z tego wynika, że suma momentów po dowolnej stronie przegubu też jest równa zero. Policzmy reakcje V7

ΣM5P = 0

- 4kNm - V7 · 4m = 0

V7 · 4m = - 4kNm

V7 = -1kN

By policzyć reakcje V3 i V4 musimy ułożyć układ równań. Skorzystamy z warunków:

1) ΣY = 0

 2kN/m · 6m - V3 - V4 + 5kN - V7 = 0

12kN - V3 - V4 + 5kN - (-1kN) = 0

V3 + V4 = 18kN


2) ΣM2P = 0

2kN/m · 2m · 1m - V3 · 2m - V4 · 4m + 5kN · 6m - 4kNm - V7 · 10m = 0

 4kNm - V3 · 2m - V4 · 4m + 5kN · 6m - 4kNm + 1kN · 10m = 0

-V3 · 2m - V4 · 4m + 40kNm = 0

V3 · 2m + V4 · 4m = 40kNm

 

Mamy teraz taki oto układ równań:

V3 + V4 = 18

V3 · 2 + V4 · 4 = 40

Możemy go rozwiązać ręcznie lub skorzystać z programu: klik

Po rozwiązaniu otrzymujemy następujące wyniki:

V3 = 16kN

V4 = 2kN

Wszystkie reakcje pionowe mamy już policzone. Policzmy teraz moment w łyżwie.

ΣM2L = 0

M1 - 2kN/m · 4m · 2m = 0

M1 - 16kNm = 0

M1 = 16kNm

Reakcja pozioma H1 będzie równa zero.

H1 = 0

Sprawdzenie:

Gdy układ jest rozbudowany, a obliczeń było sporo, warto sprawdzić, czy reakcje policzyliśmy poprawnie. Obliczamy moment w dowolnym punkcie belki. Moment powinien wyjść zero.

ΣM6 = 0

M1 - 2kN/m · 6m · 9m + V3 · 6m + V4 · 4m - 5kN · 2m - 4kNm - V7 · 2m = 0

M1 - 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m - 5kN · 2m - 4kNm + 1kN · 2m = 0

16kNm - 108kNm + 96kNm + 8kNm - 10kNm - 4kNm + 2kNm = 0

0 = 0

Reakcje policzone poprawnie

 

 

 

3. Siły przekrojowe

Po naniesieniu reakcji i oznaczeniu włókien porównawczych belka wygląda tak:

3.1 Momenty zginające

Punkt "1"

Mamy łyżwę, więc moment na podporze nie będzie zerowy.

M1 = 16kNm

Przedział "1-3"

Ze względu na obciążenie rozłożone musimy ułożyć równanie.

M(x) = 16kNm - 2kN/m · xm · 0,5  · xm

M(x) = 16 - x2

Równanie gotowe, czas określić ekstremum

M(x) = 16 - x2

M'(x) = -2x

0 = -2x

x = 0

A więc ekstremum momentu jest w miejscu gdzie x = 0m czyli na łyżwie

M(x) = 16 - x2

M(0) = 16kNm

M1 = 16 kNm

Wszystko się zgadza. Sprawdźmy teraz czy w przegubie wyjdzie nam moment zerowy (x = 4m)

M(x) = 16 - x2

M(4) = 16 - 42

M(4) = 0

M2 = 0

Policzmy jeszcze moment na końcu przedziału, czyli w punkcie 3.

M(x) = 16 - x2

M(6) = 16 - 62

M(6) = - 20kNm

M3 = -20kNm

Punkt "4"

Nie musimy układać równania. Obciążenie rozłożone traktujemy już jako całość.

M4 = 16kNm - 2kN/m · 6m · 5m + 16kN · 2m

M4 = 16kNm - 60kNm + 32kNm

M4 = -12kNm

 

Punkt "5"

Ponieważ jest to przegub moment będzie równy zero

M5 = 0

 

Punkt "6"

Rozpatrzymy dwa przypadki. Najpierw obliczamy moment z lewej strony punktu nie uwzględniając momentu zadanego 4kNm. W drugim przypadku uwzględnimy ten moment.

M6L = 16kNm - 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m - 5kN · 2m

M6L = 16kNm - 108kNm + 96kNm + 8kNm - 10kNm

M6L = 2kNm

 

M6 = 16kNm - 2kN/m · 6m · 9m + 16kN · 6m + 2kN · 4m - 5kN · 2m - 4kNm

M6 = 16kNm - 56kNm + 96kNm + 8kNm - 10kNm - 4kNm

M6 = -2kNm

 

Punkt "7"

Moment w tym punkcie wynosi zero. Jest to koniec naszej belki.

M7 = 0

3.2 Siły tnące

Przedział "1-3"

Siły tnące to pierwsza pochodna momentu. Równanie momentu już mamy, ułożyliśmy je wcześniej.

M(x) = 16 - x2

M'(x) = -2x

T(x) = -2x

Policzmy siłę tnącą na końcach przedziałów.

T(x) = -2x

T(0) = 0

 

T(x) = -2x

T(6) = -12kN

 

Przedział 3-4

Dochodzi nam siła pionowa z reakcji.

T3-4 = -12kN + 16kN

T3-4 = 4kN

 

Przedział 4-5

Uwzględniamy kolejną reakcję.

T4-5 = 4kN + 2kN

T4-5 = 6kN


Przedział "5-7"

Dochodzi nam siła pionowa 5kN

T5-6 = 6kN - 5kN

T5-6 = 1kN

Punkt "7"

Na końcu naszej belki, w punkcie 7, działa reakcja skierowana pionowo w dół o wartości 1kN. Jak widać zniosą się, czyli możemy przypuszczać, że siły tnące policzyliśmy poprawnie.

T = 1kN - 1kN

T = 0

 

3.3 Siły osiowe.

Siły osiowych brak w naszym układzie, nie ma żadnych reakcji poziomych.

 

4. Wykresy sił przekrojowych

 

 

 

Inne przykłady


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014