Statyka

Menu główne
Strona główna
Kontakt
Linki
Szukaj
Statyka
Wstęp
Podpory
GN i SW
Układ współrzędnych
Moment
Obciążenia
Łuki
Pręty zerowe
Belka
Rama
Kratownica
PDF
StatykaTV
Programy
RM-WIN
Robot
Szukaj

GN i SW

Statyczna Wyznaczalność i Geometryczna Niezmienność to dwa podstawowe warunki, które powinny być spełnione i które należy sprawdzić przed przystąpieniem do obliczeń.

Podpory oraz odpowiadające im symbole:


 

Statyczna wyznaczalność
Inaczej jest nazywana warunkiem ilościowym. Aby tarcza była nieruchoma musi być połączona trzema więziami elementarnymi z fundamentem. Spełniony musi być warunek e=3t, gdzie "t" oznacza liczbę tarcz, a "e" liczbę więzi. Sprawdźmy to:

W tym prostym przykładzie mamy tylko jedną tarczę, więc t=1
Tarcza jest połączona z fundamentem za pomocą 3 więzi, więc e=3

e = 3t

3 = 3·1

3=3

Warunek został spełniony, układ jest statycznie wyznaczalny. A co jeśli warunek e=3t nie został spełniony? Sa dwie możliwe opcje:
- gdy liczba więzi przypadająca na jedną tarczę jest większa od trzech. Układ taki nazywamy przesztywnionym, nie oznacza to jednak, że nie da się go rozwiązać. Do rozwiązania takiego przypadku może posłużyć któraś z metod: metoda sił, lub metoda przemieszczeń, jednak to nie jest przedmiotem naszych rozważań. Wrócimy do tego na statyce 2 ;)
-gdy liczba więzi jest mniejsza od trzech. Układ taki nazywamy mechanizmem i nie będziemy się tutaj nim zajmować.
Zanim przejdziemy do prawdziwych przykładów musimy poznać jeszcze kolejny (ostatni) już warunek.

 

Geometryczna niezmienność
Przy sprawdzaniu tego warunku będziemy sie opierać na dwóch twierdzeniach. Twierdzeniach o dwóch i trzech tarczach. Krótkie przypomnienie tych podstawowych twierdzeń:

Twierdzenie o dwóch tarczach - Dwie tarcze tworzą jedna wspólna tarczę, gdy są połączone trzema więziami niezbieżnymi i nierównoległymi.

W powyższym przykładzie tarcze 1 i 2 są połączone trzema więziami. Są niezbieżne i nierównoległe, więc można przyjąć że tworza jedną wspólna tarczę. W dalszych rozważaniach bedziemy je juz traktować jako jedną tarczę oznaczoną np nr 1.

Twierdzenie o trzech tarczach - Trzy tarcze tworzą jedną wspólną tarczę gdy są połączone między sobą (każda z każdą) dwoma więziami. Zobaczmy:

Tarcza 1 jest połączona z tarczami 2 i 3 za pomocą dwóch więzi
Tarcza 2 jest połączona z tarczami 1 i 3 za pomocą dwóch więzi
Tarcza 3 jest połączona z tarczami 1 i 2 za pomocą dwóch więzi
Zatem na podstawie tego twierdzenia przyjmujemy, że tworzą one jedna wspólna tarczę. W dalszych rozważaniach traktujemy je jako wspólna tarczę np nr 1.

 

Sprawdzanie warunku geometrycznej niezmienności.
Pomimo spełnienia warunku jakościowego, a więc gdy liczba więzi jest trzykrotnie większa niż liczba tarcz (e=3t) należy sprawdzić czy więzi te zostały dobrze wykorzystane. Aby tarcza była nieruchoma musi być połączona z fundamentem trzema więziami niezbieżnymi i nierównoległymi.

A więc połączenie między tarczą, a fundamentem nie może wyglądać tak:
- wszystkie więzi są zbieżne w jednym punkcie. Możliwy jest obrót tarczy. Środkiem obrotu jest punkt przecięcia się osi tych więzi. - wszystkie więzi są do siebie równoległe, czyli przecinają się w nieskończoności.

 

Prawidłowo połączona tarcza wygląda następująco:

Tarcza nr 1 jest połączona z fundamentem (tarcza 0) za pomocą 3 więzi (a,b,c). Czyli warunek ilościowy został spełniony. Teraz sprawdzamy warunek jakościowy. Jak widać osie naszych trzech więzi nie przecinają się w jednym punkcie. A więc warunek geometrycznej niezmienności został spełniony. Można by było zatem przystąpić do dalszych obliczeń.

 

 

 

 

 

Przykłady:

Przykład 1: Belka

Zwykła belka swobodnie podparta, oraz odpowiadający jej rysunek tarcz:

Jak widać mamy tutaj tylko jedną tarczę, połączoną z fundamentem trzema więziami.
Liczba tarcz t = 1
Liczba więzi e = 3

e = 3t

3 = 3

Warunek spełniony, układ jest statycznie wyznaczalny. Sprawdźmy czy warunek jakościowy został spełniony. Tarcza 1 jest połączona z fundamentem za pomocą trzech więzi niezbieżnych i nierównoległych, zatem na podstawie twierdzenia o 2 tarczach tarcze 1 i 0 tworzą jedną wspólną tarczę. Układ jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.

 

Przykład 2: Belka

Belka wieloprzęsłowa oraz odpowiadający jej układ tarcz

 

W tym przykładzie mamy już dwie tarcze, tarczę 1 i tarczę 2. Sa one połączone przegubowo (2 więzi). Dodatkowo tarcza 1 jest połączona z fundamentem za pomocą jednej więzi, natomiast tarcza 2 z fundamentem połączona jest za pomocą 3 więzi.
Liczba tarcz t = 2
Liczba więzi e = 6

e = 3t

6 = 3·2

6 = 6

Warunek spełniony układ jest statycznie wyznaczalny. Zobaczmy jak wygląda tu warunek jakościowy. Tarcza 2 jest połączona z fundamentem (tarcza 0) za pomocą 3 więzi, zatem na podstawie twierdzenia o 2 tarczach tworzą one jedna wspólną tarczę. I teraz nowo powstała tarcza (0+2) połączona jest trzema więzami z tarczą numer 1, zatem na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach tarcze te tworzą jedna wspólna tarczę. Układ jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.

 

Przykład 3: Rama

Mamy dany taki oto układ ramowy:

W tej ramie sa dwie tarcze oraz 6 więzi.
Liczba tarcz t = 2
Liczba więzi e = 6

e = 3t

6 = 3·2

6 = 6

Warunek spełniony, układ jest statycznie wyznaczalny. Warunek jakościowy:
Tarcza 1 jest połączona z tarczami 2 i 0 za pomocą dwóch więzi,
Tarcza 2 jest połączona z tarczami 1 i 0 za pomocą dwóch więzi,
Tarcza 0 jest połączona z tarczami 1 i 2 za pomocą dwóch więzi.
Zatem na podstawie twierdzenia o trzech tarczach, tworzą one jedną wspólna tarczę. Układ jest statycznie i geometrycznie wyznaczalny.

 

Przykład 4: Kratownica

W kratownicy trochę inaczej wygląda sprawdzanie warunków GN i SW. Policzmy wszystkie pręty, węzły i oznaczmy reakcje.


Liczbęa węzłów "w" = 9
Liczba prętów "p" = 15
Liczba reakcji podpór "r" = 3

Warunek statycznej wyznaczalności dla kratownicy

p + r = 2w

15 + 3 = 2 · 9

18 = 18

Układ jest statycznie wyznaczalny.

Warunek geometrycznej niezmienność wyznaczamy "budując" tarcze z trójkątów. Pręty 1, 2 i 3 tworzą trójkąt (to bedzie nasza tarcza 1). Następny trójkąt tworzymy z prętów 3, 4 i 5. Dołączamy go do naszej tarczy nr 1. I tak w kółko, aż do połączenia wszystkich trójkątów. W naszym przykładzie powstanie jedna tarcza składająca się z 7 trójkątów. Tarcza ta jest podparta z jednej strony przez więź przegubowo nieprzesuwną, a z drugiej przez przegubowo przesuwną (swobodnie podparta). Układ jest zatem statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.


Statyka, Wszelkie prawa zastrzezone, 2011-2014